Simplificación De La Trigonometría

Question

Tengo que simplificar y evaluar este :

$$\cot(70)+4\cos(70)$$

En la evaluación de la respuesta viene a ser $1.732$ o $\sqrt 3$ .

Traté de hacer todo lo $\sin$ $\cos$ pero no ir más allá . Cualquier sugerencias ?

Answer 1

La manera más fácil :

$$\dfrac{\cos70^\circ+4\cos70^\circ\sin70^\circ}{\sin70^\circ} = \dfrac{\sin20^\circ+2\sin40^\circ}{\cos20^\circ} = \dfrac{\sin20^\circ+\sin40^\circ+\cos50^\circ}{\cos20^\circ}$$

Suma del producto de la fórmula , se obtiene :

$$\dfrac{\cos10^\circ+\cos50^\circ}{\cos20^\circ}$$

De nuevo, utilizando la fórmula da $2\cos30^\circ=\sqrt3\approx1.732$

Answer 2

Primera $70=90-20$

Podemos expresar todo en términos de $\cos(20)$ y el uso que $\frac{1}{2}=\cos(60)=4\cos^3(20)-3\cos(20)$.

Vamos a escribir $x=\cos(20), y=\sin(20)$ escribir menos.

Por eso, $4x^3-3x-\frac{1}{2}=0$.

Nos cuadrado de su expresión de que no tenemos que escribir radicales, pero se puede ir sin él también si queríamos.

$$\begin{align} \left(\cot(70)+4\cos(70)\right)^2&=\left(\frac{\cos(90-20)+4\cos(90-20)\sin(90-20)}{\sin(90-20)}\right)^2\\ &=\left(\frac{y+4xy}{x}\right)^2\\ &=y^2\frac{16x^2+8x+1}{x^2}\\&=??\end{align}$$

Pero

$$\frac{1}{x}=8x^2-6.$$

$$\begin{align}??&=(1-x^2)(16x^2+8x+1)(8x^2-6)^2\\&=-1024 x^8-512 x^7+2496 x^6+1280 x^5-1952 x^4-1056 x^3+444 x^2+288 x+36\end{align}$$

Ahora dividir el polinomio por $4x^3-3x-1/2$, que es cero.

$$??=(-256 x^5-128 x^4+432 x^3+192 x^2-180 x-66)\cdot(4 x^3-3 x-1/2) + 3$$

El resto le da el valor de $3$.

Podríamos haber trabajado demasiado con $3\cdot(70)=270-60$ para obtener números más pequeños en los coeficientes, pero bueno, yo ya lo escribió con $20$. Puedes probar esta técnica con $\cos(70)$ directamente para asegurarse de que entiende cómo funciona.

Answer 3

Multiplicar por $\sin70$ y quieres mostrar a $$\cos70+4\cos70\sin70=\sqrt{3}\sin70=2\sin60\sin70$$