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¿Por qué el número de órbitas del estabilizador de un elemento en un grupo transitivo no depende del elemento?

Dejemos que E sea un conjunto finito y G un grupo transitivo de permutaciones de E . Para xE , dejemos que Sx denota el estabilizador de x . Entonces, para cualquier x,yE el número de órbitas de E bajo la acción de Sx es igual al número de órbitas de E bajo la acción de Sy .

He visto que esto se menciona en algunos libros sin pruebas como una trivialidad, pero no puedo encontrar una prueba. Conozco el lema de Burnside y sé que G/Sx y G/Sy (conjuntos de cosets de la izquierda) son isomorfos a E y, por tanto, entre sí, como G -sets. Nada de esto parece ayudar. Probablemente me estoy perdiendo algo muy obvio. ¿Puede ayudarme?

7voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Quieres decir que x,yE ¿cierto? Deja que gG sea tal que gx=y . Para el recuento de las órbitas, el reetiquetado de los elementos de E no debería cambiar el número de órbitas, así que vamos a reetiquetar cada aE con la nueva etiqueta ga .

En este nuevo etiquetado, la acción del grupo tiene el siguiente aspecto: donde antes teníamos ha=b (con hG ), ahora tenemos

(ghg1)ga=gb.

En otras palabras, en este nuevo "sistema de coordenadas" hG actúa como ghg1 .

Ahora restringiendo a Sx en el antiguo sistema de coordenadas es lo mismo que restringir a gSxg1=Sy en el nuevo sistema de coordenadas. En particular, las dos acciones de grupo son isomorfas, por lo que tienen el mismo número de órbitas.

6voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Desde G actúa transitoriamente sobre E , entonces para cualquier x,yE existe gG tal que gx=y . Entonces Sy=gSxg1 :

De hecho, desde gx=y entonces g1y=x . Por lo tanto, si ghg1gSxg1 tenemos ghg1y=ghx=gx=y Así que ghg1Sy Por lo tanto SygSxg1 . Utilizando el mismo argumento, obtenemos que Sxg1Syg que da la otra inclusión.

Así que Sx y Sy son conjugados, y en particular existe un automorfismo de G que mapea Sx a Sy este automorfismo induce un isomorfismo de los cosets de Sx a los cosets de Sy como G -sets.

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