Funciones continuas en $\beta\mathbb{N}$.

Question

Que $f\colon \beta \mathbb{N}\to \mathbb{C}$ ser una función continua tal que $f(x)=0$ $x\in \beta\mathbb{N}\setminus \mathbb{N}$. ¿Podemos concluir que existe un tanto % del subconjunto abierto y cerrado $D\subseteq \beta\mathbb{N}$tal que $f(y)=0$ % todo $y\in D$? ¿Puede ser homeomorfa a $D$ $\beta \mathbb{N}$?

Answer 1

La respuesta es sí en todos los aspectos.

Deje $0=f(p)$ donde $p\in\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$, y para $n\in\Bbb N$ deje $U_n=\{k\in\Bbb N:|f(k)|<2^{-n}\}$; a continuación, $U_n\in p$ por cada $n\in\Bbb N$. Claramente $f^{-1}[\{0\}]=\bigcap_{n\in\Bbb N}\widehat{U_n}$, en la que por cualquier $A\subseteq\Bbb N$, $\widehat A=\{q\in\beta\Bbb N:A\in Q\}$.

De forma recursiva construir distintos $n_k\in\Bbb N$, de modo que $n_k\in U_k$ por cada $k\in\Bbb N$, y deje $U=\{n_k:k\in\Bbb N\}$; claramente $U\setminus U_n$ es finito para cada una de las $n\in\Bbb N$, lo que para cualquier $q\in\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$, $U\in q$ iff $U\cap U_n\in q$. Supongamos que $q\in\widehat U$; a continuación, $U_n\supseteq U\cap U_n\in q$ por cada $n\in\Bbb N$, lo $q\in\bigcap_{n\in\Bbb N}\widehat{U_n}$, y por lo tanto $f(q)=0$. Por lo tanto, $f[\widehat U]=\{0\}$.

Finalmente, $\widehat U$ es un clopen subconjunto de $\beta\Bbb N$ y es homeomórficos a $\beta\Bbb N$.