¿Por qué es el producto directo de un número finito de nilpotentes de grupos nilpotentes?

Question

He leído que un producto directo de un número finito de nilpotent grupos es nilpotent. Aquí la definición de un nilpotent grupo es uno que tiene una parte central de la serie. Un comentario en mi libro después de esta afirmación, dice

Si $G_{ij}$ $i^{th}$ plazo de una serie central de la $j^{th}$ factor de $H_j$, $G_{ij}=G$ si la serie ya ha terminado en $G$, $\prod_j G_{ij}$ $i^{th}$ plazo de un central de la serie para $\prod_j H_j$.

Mi conjetura es que la central de la serie para $\prod_j H_j$ es algo así como $$ 1\unlhd \prod_j G_{1j}\unlhd\prod_j G_{2j}\unlhd\cdots\unlhd\prod_j G_{rj}=\prod_j H_j $$ y, además, $$ \prod_j G_{i+1,j}/\prod_j G_{ij}\subseteq Z(\prod_j H_j/\prod_j G_{ij}). $$ Yo estoy luchando para entender por qué la contención de arriba es cierto. Creo que tengo que mostrar $$ \begin{align*} \prod_j g_{i+1,j}\prod_j G_{ij}\cdot\prod_j h_j\prod_j G_{ij} &= \prod_j g_{i+1,j}\prod_j h_j\prod_j G_{ij} \\ &= \prod_j h_j\prod_j g_{i+1,j}\prod_j G_{ij} \\ &= \prod_j h_j\prod_j G_{ij}\cdot\prod_j g_{i+1,j}\prod_j G_{ij} \end{align*} $$ pero yo no veo por qué la segunda igualdad sería cierto. Estoy seguro de que hay una sencilla explicación, y que me gustaría ver. Gracias.

Answer 1

Deje $G=H\times K$. Tenga en cuenta que $[(h_1, k_1), (h_2, k_2)] = ([g_1, g_2],[k_1, k_2])$, y por lo $[H\times K, H\times K]=[H, H] \times [K, K]=H_1\times K_1$. Del mismo modo, $[H\times K,H_1\times K_1]= [H, H_1] \times [K, K_1]=H_2 \times K_2$, etc.

Asumiendo $H$ $K$ son nilpotent, existe y $i$ tal que $G_i=H_i\times K_i=\langle 1\rangle$, y por lo $G$ es nilpotent.

La clase de un nilpotent grupo $Q$ se define como el número único de $c$ tal que $Q_c$ es trivial, pero $Q_{c-1}$ no es trivial. Entonces, para $G=H\times K$ donde $H$ es de clase $c$ $K$ es de clase $d$, entonces el trabajo muestra que $G$ es de clase en la mayoría de las $\max(c, d)$.

Por lo tanto, el producto directo de dos nilpotent grupos es nilpotent, y un simple argumento inductivo completa la prueba.

Este resultado es un caso particular de un resultado conocido, llamado Ajuste del Teorema, y los que trabajan para probar ambos es bastante similar. Ajuste del Teorema dice lo siguiente,

Teorema:(Ajuste del Teorema) Deje $M$ $N$ ser normal nilpotent subgrupos de un grupo de $G$. Si $c$ $d$ son los nilpotent clases de $M$$N$, $L=MN$ es nilpotent de clase en la mayoría de las $c+d$.

En nuestro caso, estas condiciones todos tienen, solo tenemos las condiciones adicionales que $G=MN(=L)$ y $M\cap N=1$, lo que hace que nuestra vida sea más fácil. Para demostrar Ajuste del Teorema, hay que empezar por demostrar que para $U, V, W\lhd G$ tenemos $[UV, W]=[U, W][V, W]$$[U, VW]=[U, V][U, W]$. El nilpotency de $L$ sigue rápidamente. Voy a dejar de probar la clase es $c+d$ por su propia cuenta.

Answer 2

La clase de todos los nilpotent grupos de nilpotency de clase en la mayoría de las $c$ es exactamente la colección de todos los grupos para que el grupo de word $$[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{c+1}]$$ evalúa a $1$ para todas las opciones posibles de $x_1,\ldots,x_{c+1}$ en el grupo (en este caso, los conmutadores se $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$, y los escribimos de izquierda normativa, por lo que el $[a,b,c] = [[a,b],c]$).

Desde una colección de grupos, que es definido por el grupo de palabras que forma una variedad, y es cerrado bajo cocientes, subgrupos y arbitraria directa de los productos, de ello se sigue que cualquier producto directo de nilpotent grupos de clase en la mayoría de las $c$ siempre es nilpotent de clase en la mayoría de las $c$.

Si usted tiene una colección finita $G_1,\ldots,G_n$ de nilpotent grupos, dejando $c_i$ ser la clase de $G_i$, podemos dejar que la $c=\max\{c_1,\ldots,c_n\}$; a continuación, cada una de las $G_i$ es nilpotent de clase en la mayoría de las $c$, y por lo tanto el producto es nilpotent de clase en la mayoría de las $c$.

Más generalmente, de la familia de los grupos con delimitada nilpotency clase tendrá un producto que es nilpotent (de clase en la mayoría de los comunes obligado para toda la clase).

Por otro lado, tomando un producto de grupos de unbounded nilpotency clase de rendimiento de un grupo que no es nilpotent.

(La misma idea funciona para demostrar que cualquier familia de los grupos de limitada solvencia de la clase es solucionable, y, en particular, que cualquier finito de la familia de solución a los grupos resolubles producto).

Answer 3

Una buena caracterización de los grupos nilpotentes finitos es que un grupo finito es nilpotente si y sólo si es el producto directo (interno) de sus subgrupos de Sylow (o equivalente, cada subgrupo de Sylow es normal). De esta caracterización el hecho de que sigue casi inmediatamente.

Answer 4

Aquí está una prueba de que funciona para grupos nilpotentes finitos o infinitos. Si $G = G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$, entonces el $Z(G) = Z(G_1) \times \ldots \times Z(G_n)$, que $G/Z(G) \cong G_1/Z(G_1) \times \ldots \times G_n/Z(G_n)$. Continuando de esta manera, usted puede ver eso si la serie central superior para cada $G_i$ eventualmente alcanza $G_i$, (es decir, si cada $G_i$ es nilpotente), entonces la serie central superior $G$ eventualmente alcanza el $G$ (es decir, $G$ es nilpotente).