¿Es un módulo libre de torsión finitamente generados sobre un UFD necesariamente gratis?

Question

¿Es un módulo libre de torsión finitamente generados sobre un dominio de factorización única necesariamente gratis?

Answer 1

Jajaja Consideremos por ejemplo el anillo de polinomio sobre un campo en dos variables $R=K[x,y]$. $R$ es una UFD. Ahora consideremos el % ideal $I=(x,y)$generados por $x$ y $y$. Es fácil ver que $I$ no es un libre $R$-módulo, pero que sin duda es finitamente generado y torsión libre.

Answer 2

Jajaja Lo que necesitamos es que el anillo es un anillo ideal principal, no sólo una UFD. Un ejemplo contrario se acaba de dar arriba. Otra generalización de un EPI es un anillo de Dedekind. Sin embargo, un módulo libre de torsión finitamente generados sobre un anillo de Dedekind es sólo proyectivo, pero no necesariamente gratis (ver aquí.)