Cuando se $\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m$ a un subgrupo de $\mathfrak{S}_p$?

Question

Inspirada en otra pregunta, me preguntaba cuándo $\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m$ es isomorfo a un subgrupo de $\mathfrak{S}_p$. La eliminación de los casos obvios, la pregunta se convierte en:

Deje $n,m,p>1$ ser tal que $\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m \hookrightarrow \mathfrak{S}_p$. Implica que el $p \geq n+m$?

Yo era capaz de demostrar que la afirmación es verdadera para $p \leq 10$ usando David Ward argumento y el fácil siguientes resultados:

Reivindicación 1: $\mathfrak{S}_n$ $\mathfrak{A}_n$ son indecomposable.

Reivindicación 2: Si $\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m \hookrightarrow \mathfrak{S}_p$$\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m \hookrightarrow \mathfrak{A}_p$.

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EDIT: Derek Holt dio una solución simple a continuación, utilizando, sin embargo, un resultado difícil. Por lo tanto, de una escuela primaria de la solución se agradece.

EDIT: ahora Hay una más elementales solución a esto y también para el problema más general donde puede haber más de dos factores en directo http://mathoverflow.net/questions/167349

Answer 1

Suponga que $m+n>p$. Entonces al menos uno de $m,n$ - decir $n$ - satisface $n>p/2$. Para $n \ge 7$, el único fiel transitiva acción de $S_n$ de grado menor que $2n$ es la natural. (Véase, por ejemplo,

Liebeck, Martin W.; Praeger, Cheryl E.; Saxl, Jan. Una clasificación de la máxima subgrupos de lo finito alterna y grupos simétricos. J. Álgebra 111 (1987), no. 2, 365-383.)

Así que si $m+n \ge 13$, entonces no es un conjunto de $n$ puntos en los que $S_n$ actúa de forma natural. A continuación, el centralizador de $S_n$ $S_p$ debe fijar cada punto en esta órbita de $S_n$, por lo que ha pedido en la mayoría de los $(n-p)!$, y por lo tanto no puede contener $S_m$.