Prueba de que el rango determinante es igual al rango de fila/columna

Question

Deje que $A$ ser un $m \times n$ matriz con entradas de algún campo $F$ . Define el rango determinante de $A$ que sea el mayor tamaño posible de un menor que no sea cero, es decir, el tamaño de la mayor submatriz cuadrada invertible de $A$ . Es cierto que el rango determinante es igual al rango de una matriz, que definimos como la dimensión del espacio de fila/columna.

No es difícil ver que $\text {rank} \geq \text {determinant rank}$ . Si alguna submatriz de $A$ es invertible, entonces sus columnas/filas son linealmente independientes, lo que implica que las correspondientes filas/columnas de $A$ también son linealmente independientes.

¿Hay una buena prueba para lo contrario?

Answer 1

Si la matriz $A$ tiene rango $k$ entonces tiene $k$ líneas linealmente independientes. Estas forman un $k \times n$ submatriz, que por supuesto también tiene rango $k$ . Pero si tiene rango $k$ entonces tiene $k$ columnas linealmente independientes. Estas forman una $k \times k$ submatriz de $A$ que, por supuesto, también tiene rango $k$ . Pero un $k \times k$ submatriz con rango $k$ es una matriz cuadrada de rango completo, por lo tanto es invertible, por lo que tiene un determinante distinto de cero. Y por lo tanto el rango del determinante tiene que ser al menos $k$ .