¿Cuántos valores positivos de $a$ son posibles en $2^{3}\le a\lfloor a\rfloor \le 4^{2} + 1$

Question

¿Cuántos valores positivos de $a$ son posibles en el siguiente caso? $$2^{3}\le a\lfloor a\rfloor \le 4^{2} + 1$$ donde $a\lfloor a\rfloor$ tal que $a[a]$ es un número entero.

Answer 1

Está claro que $\lfloor a\rfloor$ debe ser $\ge 3$ y $\le 4$ .

En el caso $\lfloor a\rfloor=3$ El producto puede ser $9$ , $10$ o $11$ . Para $8$ es demasiado pequeño, ya que $a\ge \lfloor a\rfloor$ . Y $12$ es demasiado grande, ya que entonces $a=4$ , dando un valor erróneo a la función suelo. Así que $a$ puede tener valores $3$ , $10/3$ y $11/3$ .

En el caso $\lfloor a\rfloor=4$ hay dos valores posibles del producto, $16$ y $17$ .

Por tanto, el número de valores posibles de $a$ es $5$ .

Answer 2

$[a] ≤ a => [a][a] ≤ a[a]≤17 =>[a]≤4$

y

$a ≥ [a] => a.a ≥a[a] ≥ 8 =>a≥\sqrt8$

$=>3≤[a]≤4$

Si $ [a]=3, 3≤a<4 =>3.3≤a[a]<4.3 => 9≤a[a]<12$ que satisface la condición dada.

Así que, $9≤3a<12=>\frac{9}{3}≤a<\frac{12}{3}=>a=\frac{9}{3}, \frac{10}{3}, \frac{11}{3}$

Si $[a]=4, 4≤a<5 =>16≤a[a]<20$ ,

pero según la condición dada $8≤a[a]≤17$

Así que, aquí $16≤a[a]≤17=>16≤4a≤17=>a=\frac{16}{4}, \frac{17}{4}$