El teorema 7.1 del capítulo 2 del texto de Hartshorne dice que las láminas invertibles sobre un esquema $X$ junto con sus secciones generadoras globales dadas corresponden a morfismos de $X$ a $\mathbb{P}_A^n$ (aquí $A$ es algún anillo fijo). Me pregunto si dada cualquier gavilla invertible $\mathcal{L}$ en un esquema $X$ siempre existe un conjunto finito de secciones globales en $\mathcal{L}(X)$ que generan $\mathcal{L}$ ?
Respuesta
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No es cierto para los regímenes generales $X$ que las secciones globales $\mathcal L(X)$ de una gavilla invertible $\mathcal L$ en $X$ generan los tallos de $\mathcal L$ porque puede ocurrir que $\mathcal L$ no tiene ninguna sección distinta de cero: este es el caso de las láminas de torsión de Serre $\mathcal O_{\mathbb P^n}(r)$ en $\mathbb P^n$ tan pronto como $r$ es negativo.
(El ejemplo de Jyrki en su comentario es el caso $n=1, r=-2$ )
Sin embargo, su pregunta tiene una respuesta afirmativa si $X$ es afín: Serre (¡otra vez él!) ha demostrado que en el caso afín cualquier gavilla coherente $\mathcal F$ en $X$ tiene sus tallos generados por las secciones globales $\mathcal F(X)$ de $\mathcal F$ . [Este resultado se conoce como Teorema de Serre A]
Dado que cualquier esquema afín es cuasi-compacto, basta con un número finito de secciones globales para generar todos los tallos de $\mathcal F$ .
