Acciones que no son integrales

Question

Hasta ahora cada acción que he visto en la física ha sido una parte integral de un Lagrangiano, ser un punto de partículas:

$$S = \int dt\ L$$

o campos (relativista o no):

$$S = \int d^4x\ \mathcal{L}$$

y así sucesivamente. Los autores no suelen justificar este (y no estoy diciendo que deberían), así que me pregunto: hay aplicaciones de las acciones que no son las integrales de Lagrangians?

Por ejemplo, podríamos tener algo como $S[x(t)] = \sup\{\dot{x}(t)^2\}$, o variaciones de un mismo tema (no he averiguado cómo encontrar los extremos). O puede funcionales escribirse como una integral?

Answer 1

De hecho, se puede considerar discretos sumas de dinero en lugar de las integrales como la acción. Por ejemplo, se puede considerar una acción de la forma $$S=\sum_{i=0}^n\frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_i)^2+\frac{1}{2}\phi_i^2$$ con $\phi_{n+1}=\phi_0$,$\phi_i\in\mathbb{R}$.Esto le dará una 1d campo de la teoría en un discreto círculo. Uno puede, por supuesto, calcular la ecuación de movimiento,que va a ser una relación recursiva en lugar de una ecuación diferencial.

La ventaja de este tipo de modelos surge después de la cuantización. Con discretos de celosía, la ruta integral se convierte en una ordinaria integral a pesar de que en un espacio vectorial de dimensión muy grande, y eso significa que uno puede estudiar la teoría numéricamente.

Answer 2

Generalmente lo que nos interesa es no resolver el problema variacional. Simplemente queremos tener objeto limpio que nos permite derivar ecuaciones de movimiento, conserva cantidades etcetera. Este objeto es la acción integral. No dada por una integral de acción generalmente no conduce a las ecuaciones diferenciales por lo que no es interesante.