Probar: si $f(0)=0$ y $f'(0)=0$ y $f''(0)\geq 0$

Question

deje $f$ ser no negativo y derivable dos veces en el intervalo de $[-1,1]$

Demostrar: si $f(0)=0$ $f'(0)=0$ $f''(0)\geq 0$

1. son todos dados de datos es necesaria para la prueba

2. ¿qué se puede decir si f"(0)= 0

Mirando el polinomio de taylor y el resto de lagrange, se obtiene:

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(c)x^2}{2}$$

$$f(x)=\frac{f''(c)x^2}{2}$$

Debido a que la función es no negativa y $\frac{x^2}{2}\geq 0$ $f''(c)\geq 0$

Como para 1. todos los datos son necesarios, pero no puedo encontrar una razón válida.

como para la 2. podemos concluir que la función está definida f(x)=0?

Answer 1

La prueba es suficiente cuando $f''$ es continua.

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Aquí una forma sin la asunción de la continuidad.

Este % de expansión de Taylor $f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0) + o(x^2)$rendimientos aquí: $$f(x) = \frac{x^2}{2}f''(0) + o(x^2)

O $f''(0)=0$ y está buenos, de lo contrario la igualdad anterior se reescribe como $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2f(x)}{f''(0) x^2}= 1$

En consecuencia, $f(x)$ y $f''(0) x^2$ deben compartir el mismo signo en un barrio de $0$.

Desde $f\geq 0$ y $x^2\geq 0$ que implica $f''(0)\geq 0$

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Cuando $f''(0)=0$, $f(x)=o(x^2)$. No veo nada más que se puede decir.

Answer 2

Otro método es a través del método de la contradicción. Suponga que $f''(0) < 0$. A continuación, la función de $f'$ es estrictamente decreciente en a $0$ lo que significa que hay un barrio $I$ $0$ que si $x \in I, x < 0$ $f'(x) > f'(0) = 0$ e si $x \in I, x > 0$$f'(x) < f'(0) = 0$. Podemos elegir obviamente $I$ de la forma $(-h, h)$ y, por tanto, la observación de signo de $f'$ $(-h, h)$ vemos que $f$ es estrictamente creciente en a $(-h, 0]$ y estrictamente decreciente en a $[0, h]$ y desde $f(0) = 0$ se sigue que $f(x) < 0$ todos los $x \in I$ con la excepción de $x = 0$. Y esto es contrario a la hipótesis de que la $f$ es no negativo. Así, podemos obtener la deseada contradicción.

Por CIERTO, el argumento anterior puede ser sustituido por el siguiente breve argumento. Desde $f'(0) = 0, f''(0) < 0$ el punto de $0$ es un local estricto máximo de $f$ y, por tanto, $f(x) < f(0) = 0$ todos los $x$ en un barrio de $I$ $0$ con la excepción de $x = 0$. Y esto contradice que $f$ es no negativo.

El argumento en el primer párrafo realidad muestra cómo la desaparición de la derivada y el signo de la segunda derivada de garantía local máximos/mínimos y si el lector es consciente de que la prueba de la segunda derivada de la prueba de máximos/mínimos, es preferible adoptar el argumento en el segundo párrafo.

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Como puede verse a partir de los argumentos anteriores no necesitamos la continuidad de $f''$. Y podemos evitar difícil teoremas como el de Taylor o de L'Hospital. El argumento utilizado en el primer párrafo nos lleva a uno de los más simples pruebas de Taylor con el Teorema de Peano del resto.

Answer 3

2) usted podría tener $f(x)=x^4$ que satisface todas las propiedades y conclusiones incluidas $f''(0)=0$, sin embargo, $f(x)$ no es idéntica a cero.

1) relajar la condición de que $f(0)=0$, podríamos ver el $f(x)=\cos(x)+3$ (que tiene lugar $f(0)=4$). Satisface la propiedad de que la $f(x)$ es no negativo, es dos veces diferenciable en a $[-1,1]$ y $f'(0)=0$. Sin embargo, $f''(0)=-\cos(0)=-1$ no es no negativo.

Relajando la condición de que $f(x)$ ser no negativa en el intervalo, dejando $f(x)=-x^2$ ha $f(0)=0, f'(0)=0$, sin embargo, $f''(0)=-2$ no es no negativo

Relajando la condición de que $f$ dos veces diferenciable, no tiene sentido, ya que, a continuación, $f''(0)$ no puede ser hablado.

Trate de buscar por ti mismo, así como para una función de $f(x)$ que viole sólo la hipótesis de que la $f'(0)=0$ ha $f''(0)<0$.

Con estos contraejemplos, llegamos a la conclusión de que, de hecho, cada hipótesis fue necesario.

Answer 4

La continuidad de $f''$ no es realmente necesario para aplicar la fórmula de Taylor con resto de Lagrange. De todos modos, podemos aplicar la regla de l'Hospital para obtener: $$f''(0) =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x} = 2\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}.$$ Dado que tanto $f(x)$ $x^2$ son no-negativos sobre $[-1,1]\setminus\{0\}$, $\;f''(0)\geq 0$ fácilmente se deduce.
Obviamente no podemos deducir la desigualdad estricta $f''(0)>0$, como se muestra por $f(x)=x^4$.