Formulación geométrica del principio de equivalencia

Question

Deje $(M,g)$ $4$- dimensiones de Lorenz colector. Es bueno saber que determinado $(U,\psi=(x^1,\ldots,x^4))$ local gráfico en torno a algunos $p\in M$, es posible encontrar un cambio de coordenadas dado por $(U,\varphi=(\bar x^1,\ldots,\bar x^4))$ de manera tal que los componentes de $\bar g_{ij}$ $g$ respecto $\{d\bar x^i\otimes d\bar x^j\}_{i,j}$ son iguales a los componentes de $\eta$ (minkowskian métrica en $\mathbb{R}^4$)$p\in U$, y también las derivadas parciales $\partial_{x^k}g_{ij}(p)$ se desvanece. [Ver la geometría Diferencial y la teoría de la relatividad, por Richard L. Faber, pag 178]

En este sentido, podemos establecer que el principio de equivalencia como seguir?

El espacio-tiempo es una $4$dimesional-Lorenz-colector.

Answer 1

En realidad, el resultado es aún más fuerte:

Dado un timelike geodésica $\gamma$ y un punto de $p \in \gamma$, hay un barrio $U \ni p$ equipada con coordenadas, $x^0,x^1,x^2,x^3$ de manera tal que en la parte de $\gamma$ incluido en $U$, exactamente a lo largo de $\gamma$, los derivados de la métrica se desvanecen en dichas coordenadas. De forma equivalente, los símbolos de Christoffel $\Gamma^a_{bc}$ en dichas coordenadas se desvanecen a lo largo de $\gamma$$U$. La coordenada $x^0$ coincide con el buen tiempo medido a lo largo de $\gamma$ y el restante tres coordenadas $x^k$ puede ser elegido spacelike y ortogonal a $\gamma$.

El mencionado coordenadas se llama Fermi coordenadas adaptadas a $\gamma$

Este resultado (pero también el más débil de mencionar que hace ya que en la prueba a continuación utilizamos el hecho de que los símbolos de Christoffel se desvanecen exactamente como el origen de las coordenadas) implica una geométricas versión de que el principio de equivalencia. Más precisamente, esto implica la declaración diciendo que,

en el marco de referencia centrado en una caída libre del cuerpo, el movimiento de otro caída libre del cuerpo se aproxima por una constante de velocidad de movimiento y de esta aproximación es válida para tiempos cortos y en una pequeña región espacial alrededor del centro de la caída libre de marco de referencia.

Vamos a ilustrar cómo sucede. Considere la posibilidad de dicho sistema de coordenadas $x^0,x^1,x^2,x^3$ suponiendo (por redefinir el origen de coordenadas si es necesario) que la porción de la $\gamma$ $U$ es descrito por $x^0 \in (-a,a)$$x^k=0$$k=1,2,3$.

Un segundo timelike geodésica $\gamma'$ cruzar $\gamma$ en el origen tiene por ecuación $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2} = -\Gamma^{a}_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\:.$$ Sin embargo, exactamente en el origen de las coordenadas, donde las historias de las dos de caída libre de los cuerpos conocer y suponiendo que tome el tiempo apropiado de $\gamma'$ $t=0$ no, $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_{t=0} = - \Gamma^{a}_{bc}\bigg|_{(0,0,0,0)} \frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0 \frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 = 0 ~~\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 =0\:.$$ La expansión de la expresión de $\gamma'$ en las coordenadas alrededor de $t=0$, $$x^a(t) = x^a(0) + \frac{\mathrm dx^a}{\mathrm dt}\bigg|_0 t + \frac{1}{2}\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_0 t^2 + O^a(t^3)= 0 + V^a t + 0 + O^a(t^3)$$ que es $$ x^a(t) = V^at + O(t^3)\:.$$ Este es de hecho un movimiento con velocidad constante. Observe que $V^0 \neq 0$ porque $\gamma'$ es timelike, por lo que podemos re-definir parámetros de la línea geodésica mediante el tiempo de las coordenadas $x^0$ en lugar de en el momento adecuado $t$ a lo largo de $\gamma'$. La definición de $v^k := V^k/V^0$ $k=1,2,3$ fácilmente nos han $$x^k(x^0) = v^k x^0 + O^k((x^0)^3)\:.$$ Para apreciar cierta aceleración, tenemos que lidiar con infinitesimal de la tercera orden de $O((x^0)^3)$ en lugar de la de segundo orden. Esta aproximación es tan bueno como el $x^0$ es menor, es decir, el cuerpo de la historia dada por $\gamma'$ está cerca de a $\gamma$.