Problema número simple de la teoría

Question

He encontrado esta pregunta en un libro de texto sobre teoría de números:

¿Para que c entero $\;\displaystyle{\frac{c^6 - 3}{c^2 + 2}}\;$ también será un número entero?

Me gustaria saber si hay una solución que no se basa en ensayo y error.

Answer 1

Si $(c^6 - 3)/(c^2 + 2)$ es un número entero, también lo es $$\frac{c^6 - 3}{c^2 + 2} - (c^4 - 2c^2 + 4) = \frac{c^6 - 3}{c^2 + 2} - \frac{c^6 + 8}{c^2 + 2} = \frac{-11}{c^2 + 2},$$ that is, $c ^ 2 + 2 $ divides $11 $. The only way this can happen is if $c ^ 2 = 9 $, so $c = \pm 3$.

Answer 2

$\,c^2\!+2\mid \color{#0a0}{c^6\!-3}\,\Rightarrow\,$ mod $\,c^2\!+2\!:\,\ c^2\equiv \color{#c00}{ -2},\ \ \color{}0\equiv \color{#0a0}{(c^2)^3\!-3}\equiv (\color{#c00}{-2})^3\!-\!3 \equiv -11,\ $ so $\ c^2\!+2\mid 11.$