Dejemos que $f:X\to Y$ sea un mapa finito de variedades y sea $BL_Z(Y)$ sea la ampliación de un subesquema $Z\subset Y$ . ¿Existe un mapa $$\phi:BL_{f^{-1}(Z)}(X)\to BL_{Z}(Y)?$$ Si es así, ¿qué se puede decir de $\phi$ ? ¿Es también finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se necesitan más hipótesis para que ese mapa exista. Por ejemplo, supongamos que $X = pt$ y $Y = \mathbb A^2$ (sobre un campo $k$ , digamos) y $f$ es el mapa que envía el punto al origen. Ahora toma $Z$ para ser el origen de $Y$ . La preimagen de $Z$ es todo $X$ y, por lo tanto, la ampliación de $X$ en $f^{-1}(Z)$ es sólo $Z$ de nuevo. Por otro lado, no existe un mapa natural de $X$ a la explosión de $Y$ a lo largo de $Z$ . (Si lo hubiera podríamos elegir un punto distinguido en el divisor excepcional, cosa que no podemos).
Si $f$ es finito y plano, entonces, a menos que me equivoque en la ampliación de $X$ a lo largo de $f^{-1}(Z)$ será precisamente igual al producto de la fibra sobre $Y$ de la explosión de $Y$ a lo largo de $Z$ con $X$ . Así que en este caso, hay un mapa $\phi$ En este caso, se trata sólo de un cambio de base y, en particular, vuelve a ser finito y plano.
Si se quiere, el problema es que Proj (que es lo que aparece en la definición de las explosiones) no es functorial de la manera más ingenua.
