¿Existen números enteros consecutivos de $29$ para que cada una de ellas tiene exactamente $2$ distintos factores primeros?

Question

¿Existen $29$ enteros consecutivos, denotan $a,a+1,\cdots,a+28$, de modo que cada una de ellas tiene exactamente $2$ distintos factores primos?

Por ejemplo, $25$ tiene sólo uno de los distintos primer factor, y $30$ $3$ distintos factores primos.

Estos son mis effors:

1.Ya que no son divisibles por $30$, lo $a\equiv 1 \pmod {30}.$

2.Escribí un código (Mathematica 9.0) para este problema:

j = 0; i = 2; While[j < 29 && i < 10^8, Si[Longitud[FactorInteger[i]] == 2, j = j + 1; i = i + 1, j = 0; i = i + 31 - Mod[i, 30]]]; Print[{j, i}]

Después de ejecutar este programa, me parece que no hay ningún tipo de números al $a<10^8$, se tarda alrededor de $4$ minutos.

Gracias de antemano!

Answer 1

(Sugerencia) Desde $a \equiv 1 \pmod {30}$, tenemos que $a + 5$, $a + 11$, $a + 17$, y $a + 23$ son divisibles por 2 y 3. Ya que solo puede ser divisibles por 2 factores principales, esto debe ser suficiente restricción para demostrar que no hay ninguna posible $a$.

Answer 2

Si el primer número es $30n+1$ observamos que:

$$30n+6=6(5n+1)$$$$ 30n+12=6(5n+2)$$$$30n+18=6(5n+3)$$$$30n+24=6(5n+4)$ $

Así que es divisible sólo por $5n+r$$2$ o $3$ $1 \le r\le4$. $5n+1$ $5n+2$ son coprimos, por eso uno debe ser un poder de $3$ y el otro un poder de $2$ (ni puede ser $1$). Entonces es fácil ver que también nosotros no podemos caber $5n+3$ y $5n+4$ en el mismo patrón.