Ley fuerte de grandes números para el proceso de Poisson

Question

Mi pregunta se refiere a la fuerte ley de los grandes números como se indica, por ejemplo, en Ethier y Kurtz (1986, pág. 456 Eq. (2.5)), de la siguiente manera:

Si $Y$ es una unidad de proceso de Poisson, entonces para cada a $u_0>0$, \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sup_{u \geq u_0} \vert Y(nu)/n - u \vert = 0 \quad a.s. \end{eqnarray*}

Mi pregunta se refiere a la convergencia uniforme. Más precisamente, veo cómo aplicar el fuerte de la ley de los grandes números con el fin de obtener \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert Y(nu)/n - u \vert = 0 \quad a.s. \end{eqnarray*} para cada una de las $u>0$ (apenas se nota que $Y(nu) = \sum_{k=1}^n Y(ku)-Y((k-1)u)$ es una suma de (i).yo.d. variables aleatorias con media de $u$ desde $Y$ es una tasa de unidad de proceso de Poisson). Pero no sé cómo demostrar que la convergencia no es sólo pointwise, pero también uniforme. Sospecho que si se pudiera demostrar que el $Y(nu)/n$ es un aumento de la secuencia de funciones, es decir, $Y(nu)/n \leq Y((n+1)u)/(n+1)$, podría utilizar Dini del teorema para demostrar la convergencia uniforme. No veo, sin embargo, cómo mostrar esta monotonía.

He estado pensando acerca de la prueba ahora por un tiempo y sería feliz si alguien me podría ayudar!

Referencia:

Ethier, S. N. y Kurtz, T. (1986). Procesos de Markov: Caracterización y Convergencia. John Wiley & Sons, Inc.

Answer 1

En mi edición de el libro se lee

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{u \leq u_0} \left| \frac{Y(nu)}{n}-u \right|=0 \quad \text{a.s.}$$

Así que vamos a probar esto. Fix $\varepsilon>0$. Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ tenemos por Etemadi la desigualdad

$$p_n := \mathbb{P} \left( \sup_{u \leq u_0} \left| \frac{Y(nu)}{n}-u\right| > 3\varepsilon \right) \leq 3\sup_{u \leq u_0} \mathbb{P} \left( \left| \frac{Y(nu)}{n}-u\right|>\varepsilon \right). \tag{1}$$

La idea es mostrar que $$\sum_{n \in \mathbb{N}} p_n<\infty; \tag{2}$$ the claim then follows from the Borel-Cantelli lemma. In order to prove $(2)$ we note that we can choose a constant $C>0$ such that for any $|\lambda| \leq 1$

$$\mathbb{E}e^{\lambda \tilde{Y}_t} \leq e^{Ct \lambda^2}, \tag{3}$$

donde $\tilde{Y}_t :=Y_t-t$ denota la compensado proceso de Poisson; véase el lema siguiente. El (exponencial) de Markov de la desigualdad y la $(1)$ a continuación se muestra

$$\begin{align*} p_n &\leq 3\sup_{u \leq u_0} \mathbb{P} \bigg( Y(nu)-nu>\varepsilon n\bigg)+3\sup_{u \leq u_0} \mathbb{P} \bigg( -(Y(nu)-nu)>\varepsilon n \bigg) \\ &\leq 3 \sup_{u \leq u_0} \bigg[ \exp \left(\lambda \tilde{Y}(nu)-\varepsilon n \lambda\right)+ \exp \left(-\lambda \tilde{Y}(nu)-\varepsilon n \lambda\right) \bigg]. \end{align*}$$

Si elegimos $\lambda=\frac{1}{\sqrt{n}}$ y se aplican $(2)$, entonces tenemos

$$p_n \leq 6 \exp \left( C u_0-\varepsilon \sqrt{n} \right).$$

Obviamente, esto conlleva $(2)$.

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Lema Deje $(Y_t)_{t \geq 0}$ un proceso de Poisson (con tasa de $1$) y $\tilde{Y}:=Y_t-t$ el compensada proceso de Poisson. A continuación, $(3)$ mantiene.

Prueba: Desde $Y_t \sim \text{Poi}(t)$, la exponencial momentos se puede calcular explícitamente: $$\mathbb{E}e^{\lambda Y_t} = e^{t \cdot (e^{\lambda}-1)}.$$ Hence, $$\mathbb{E}e^{\lambda \tilde{Y}_t} = e^{t \cdot (e^{\lambda}-1-\lambda)}.$$ For $\lambda \en [-1,1]$, we have $$|e^{\lambda}-1-\lambda| \leq C \cdot \lambda^2$$ and this proves $(3)$.

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Comente La afirmación se cumple para cualquier proceso de Lévy $(Y_t)_{t \geq 0}$ finitos exponencial momentos:

$$\lim_{n \to \infty} \sup_{u \leq u_0} \left| \frac{Y(nu)}{n}-\mathbb{E}Y_1 \cdot u \right|=0 \quad \text{a.s.}$$