$\int\frac{1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1}dx$

Question

$$\int\frac{1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1}dx$$

He intentado solucionarlo.
$$\int\frac{1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1}dx=\int\frac{1+x^2}{(x^2+1)^2+3x^3+x^2-3x+1}dx=\int\frac{1+x^2}{(x^2+1)^2+3x(x^2-1)+x^2+1}dx$$

Pero esto no parece ser solución. Por favor ayuda.

Answer 1

Primera reescribir la integral como $$\mathcal{I}\stackrel{def}{=}\int \frac{x^2+1}{x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 3x + 1} dx = \int \frac{x+x^{-1}}{(x^2 + x^{-2}) + 3(x - x^{-1}) + 3}\frac{dx}{x} $$ El uso de la identidad: $\displaystyle\;\frac{dx}{x} = \frac{d(x-x^{-1})}{x+x^{-1}}\;$, podemos cambiar la variable a $u = x-x^{-1}$ y obtener

$$ \mathcal{I} = \int\frac{du}{u^2 + 3u + 5} = \int\frac{du}{(u+\frac32)^2 + \frac{11}{4}} = \sqrt{\frac{4}{11}} \bronceado^{-1}\left(\sqrt{\frac{4}{11}}\left(u+\frac32\right)\right) + C\\ = \frac{2}{\sqrt{11}} \bronceado^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}}\left(x - \frac1x +\frac32\right)\right) + C $$ para algunos la integración constante de $C$.

Actualización

Como se ha señalado por @Andrei, la expresión anterior es discontinua en a $x = 0$. Si uno quiere usar para calcular la integral definida, uno necesita usar un diferente $C$ para la región de $x > 0$$x < 0$. Deje $C_{+}$ $C_{-}$ ser la integración constante de estas dos regiones. Dado que el integrando se porta bien en $x = 0$, como una función de la $x$, la integral indefinida $\mathcal{I}$ es continua en a $x = 0$. Esto impone una restricción

$$C_{+} - C_{-} = \frac{2\pi}{\sqrt{11}}$$

y conduce a

$$\mathcal{I} = \frac{2}{\sqrt{11}} \left[ \bronceado^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}}\left(x - \frac1x +\frac32\right)\right) + \Delta(x) \right] + C' $$ donde $\displaystyle\;C' = \frac{C_{+} + C_{-}}{2}\;$ y $\displaystyle\; \Delta(x) = \begin{cases}+\frac{\pi}{2}, & x > 0\\-\frac{\pi}{2},& x < 0\end{casos}$.

Para simplificar aún más este, se utiliza la siguiente representación de $\Delta(x)$:

$$\Delta(x) = \tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac1x,\quad\text{ for } x \ne 0$$ Esto lleva a

$$\begin{align} \mathcal{I} &= \frac{2}{\sqrt{11}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}}\left(x - \frac1x +\frac32\right)\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{11}x}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{11}x}{2}\right) \right] + C'\\ &= \frac{2}{\sqrt{11}} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{11}x^2(2x+3)}{7x^2-6x+4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{11}x}{2}\right) \right] + C' \end{align} $$ Una expresión de $\mathcal{I}$ que es continua para todos los $x$ y se puede utilizar para calcular la integral definida.

Answer 2

El uso de Hermite y reducción de la Rothstein-Trager Algoritmo para la integración de funciones racionales puedo conseguir $$\frac{2}{\sqrt{11}}\left(\arctan\left(\frac{3}{\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{11}}x\right)-\arctan\left(\frac{3}{\sqrt{11}}-\frac{8}{\sqrt{11}}x-\frac{6}{\sqrt{11}}x^2-\frac{2}{\sqrt{11}}x^3\right)\right) $$

que le parece correcto después de la diferenciación. Su extraña que Wolfram Alpha no obtener este resultado.

Aquí algunos detalles:

Deje $A = x^2+1$$D = x^4+3x^3+3x^2-3x+1$, por lo que queremos encontrar $\int{\frac{A}{D}}{dx}$
Desde $D$ es la plaza libre (no contiene múltiples factores) y $\deg(A) < \deg(D)$, podemos aplicar la Rothstein-Trager método descrito en el documento de abajo para calcular esta integral:

Primero calculamos la resultante de la \begin{align} \text{res}_x(D, A-t\frac{d}{dx}D) &= \text{res}_x(x^4+3x^3+3x^2-3x+1,-4tx^3+(1-9t)x^2-6tx+3t+1)\\ &= 37(1+11t)^2 =: R(t) \end{align} Tiene dos raíces $t_1 = \frac{i}{\sqrt{11}}$ $t_2 = -\frac{i}{\sqrt{11}} = -t_1$

Ahora podemos expresar la integral como una suma de complejos logaritmos: \begin{align} \int{\frac{A}{D}}{dx} &= \sum_{t|R(t) = 0}t\log\left(\gcd\left(D, A-t\frac{d}{dx}D\right)\right)\\ &= \sum_{t|R(t) = 0}t\log\left(-1+\left(\frac{3}{2}+\frac{11}{2}t\right)x+x^2\right) \\ &= \frac{i}{\sqrt{11}}\log\left(-1+\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}i\right)x+x^2\right)-\frac{i}{\sqrt{11}}\log\left(-1+\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}i\right)x+x^2\right) \end{align} Tenga en cuenta que el MCD dentro de los registros fue tomada $\mathbb{Q}(t_1)[x]$, en lugar de sólo más de $\mathbb{Q}[x]$.

Después de haber expresado la integral como una suma de logaritmos, lo único que tenemos que hacer, es convertir a la inversa de la tangente. Para esto, también existen algoritmos.

Ver para esta "Integración Simbólica I: Funciones trascendentes" de Manuel Bronstein.

Answer 3

No tome esta respuesta demasiado en serio, pero no me pude resistir. Os dejo los detalles para que usted lo llene.

En primer lugar, que el factor del denominador en factores de segundo grado, como $$ \begin{aligned} x^4+3x^3+3x^2-3x+1&=\bigl(x^2+\frac{1}{2} \sqrt{7+2 \sqrt{37}} x+\frac{3 x}{2}+\frac{1}{4} \sqrt{46+10 \sqrt{37}}+\frac{\sqrt{37}}{4}+\frac{5}{4}\bigr)\\ &\qquad\times\bigl(x^2-\frac{1}{2} \sqrt{7+2 \sqrt{37}} x+\frac{3 x}{2}-\frac{1}{4} \sqrt{46+10 \sqrt{37}}+\frac{\sqrt{37}}{4}+\frac{5}{4}\bigr) \end{aligned} $$ A continuación, realice una fracción parcial de la descomposición. El ansatz es $$ \begin{aligned} \frac{x^2+1}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1}&=\frac{ax+b}{x^2+\frac{1}{2} \sqrt{7+2 \sqrt{37}} x+\frac{3 x}{2}+\frac{1}{4} \sqrt{46+10 \sqrt{37}}+\frac{\sqrt{37}}{4}+\frac{5}{4}}\\ &\qquad+\frac{cx+d}{x^2-\frac{1}{2} \sqrt{7+2 \sqrt{37}} x+\frac{3 x}{2}-\frac{1}{4} \sqrt{46+10 \sqrt{37}}+\frac{\sqrt{37}}{4}+\frac{5}{4}}. \end{aligned} $$ Un cálculo directo muestra que $a=c=0$ y $$ b=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{\sqrt{37}}{22}-\frac{7}{44}} \quad \text{y} \quad d=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{\sqrt{37}}{22}-\frac{7}{44}}. $$ Lo que tiene que hacer es la habitual de completar el cuadrado en el denominador, y obtendrá un horrible arctans. Eso se lo dejo a usted.

Answer 4

Por favor, tenga en cuenta que usted tiene: $\int\frac{1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1}dx$, que en dividir el numerador y el denominador por $x^2$ se convierte en:

$\int\frac{1+1/x^2}{(x^2+1/x^2)+3+3(x-1/x)}dx$=$\int\frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5+3(x-1/x)}dx$

Ahora pon x-1/x =t, de modo que (1+1/$x^2$)dx=dt y por lo tanto se obtiene:

$\int\frac{1}{t^2+5+3t}dt$;que se puede reordenar para obtener:$\int\frac{1}{t^2+5+3t}dt$=$\int\frac{1}{(t+3/2)^2+11/4}dt$=(2/$\sqrt11$)arctg[(t+3/2)2/$\sqrt11$]+c=

(2/$\sqrt11$)arctg[(x-1/x+3/2)2/$\sqrt11$]+c;donde c es la constante de integración.

PS:x>$0$ o x<$0$,sólo para estos x , por encima de la solución es válida.A,x=$0$,arctan[(x-1/x+3/2)2/$\sqrt11$]se vuelve discontinuo, de modo que el teorema Fundamental no tiene.

Answer 5

Como ya ha señalado, las raíces del polinomio son complejas.

La solución analítica es una tarea aburrida. Sólo los resultados intermedios principales se informan a continuación: