Productos directos de grupos infinitos

Question

Por un argumento no del todo trivial sabemos que si $G,H$ son grupos finitos y $G \times G \cong H \times H$ entonces $G \cong H$ . Me preguntaba si este resultado se mantiene si $G, H$ son infinitos, y si no es así, qué es un contraejemplo.

Answer 1

Según la entrada de la wikipedia Rango de un grupo abeliano hay grupos abelianos de rango 2 $A=A_{m,n}$ y $B=B_{m,n}$ ( $m,n\in\mathbb{N}$ ) tal que $A^n$ es isomorfo a $B^n$ si y sólo si $m$ divide $n$ . Si esto es así, entonces por supuesto que tomar $m=n=2$ da un contraejemplo. Este resultado parece deberse a A.L.S. Corner, que tiene varios resultados sorprendentes que muestran que los grupos abelianos no generados infinitamente se comportan de forma muy extraña.