¿Qué es $dx$ en forma diferenciada?

Question

Esta pregunta se refiere a este post.

Por lo que sé, en cálculo y análisis estándar, estrictamente hablando, no hay sentido de $dx$. Sólo tiene sentido cuando se combina con otro $d$, por ejemplo, $df/dx$ como derivadas o de integración, por ejemplo,$\int f(x) dx$. El $dx$ en derivados, o de la integración tiene un sentido definido dentro de la definición de la derivada o la integración, respectivamente.

Sin embargo, en forma diferenciada, es dado como

$\omega = \frac{ \omega_{\mu_1,\cdots, \mu_r}}{r!} dx^{\mu_1} \wedge\cdots\wedge dx^{\mu_r} $

donde $dx$ aparece de forma explícita. ¿Qué $dx$ significa en forma diferenciada? El físico suele decir que es infinitesimal. Sin embargo, infinitesimal, no significa nada en análisis estándar, o estoy equivocada?

Answer 1

$dx_1$ es un diferencial 1-formulario (también conocido como un covector campo) que asocia a cada punto en el espacio lineal mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. La acción de este lineales mapa es tomar un vector y escupir su componente en la $x_1$ dirección. En otras palabras, es el covector $\begin{bmatrix} 1&0&0&...&0 \end{bmatrix}$.

El covector campos de $dx_i$ span todos covector campos en el álgebra de estos chicos sobre las funciones con valores reales, sólo porque usted puede escribir

$$\begin{bmatrix} f_1(x)&f_2(x)&f_3(x)&...&f_n(x) \end{bmatrix}$$ as $$f_1(x)dx_1+f_2(x)dx_2 + ...+ f_n(x)dx_n$$

La manera de integrar un diferencial de una forma $\omega$ a lo largo de una curva es bastante simple. Dada una curva $\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^n$, partición de a $k$ piezas. Entonces usted puede formar la suma

$$\sum_{i=1}^k \omega\big|_{\gamma(\frac{i}{k})}(\gamma(\frac{i}{k}) - \gamma(\frac{i-1}{k}))$$

El límite de esta suma como $k \to \infty$ es la integral de la forma. Alternativamente, usted podría tener enchufado en la realidad de los vectores tangente en cada punto, en lugar de los aproximadamente tangente vectores he usado, pero creo que es un poco más fácil de conceptualizar lo que está pasando en este camino.

¿Por qué son estos razonable cosas a mirar? ¿Por qué nadie piensa en la integración de tal cosa? Respuesta: debido a que la derivada de una función $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ES un covector campo, y ciertamente queremos ser capaces de integrar un derivado más de una curva, y tienen un teorema fundamental del cálculo. De hecho, $dx_1$ es simplemente la derivada de la función de las coordenadas $f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1$. Si usted piensa acerca de cómo sensatez integrar la derivada de una función, usted probablemente tendrá que recuperar mi noción de la integración de arriba.

Answer 2

Mi primera respuesta acaba de responder a la pregunta directamente, pero me gustaría tomar un poco de tiempo para explorar este círculo de ideas.

Deje $f(x,y) = x^2y$.

La derivada de una función da la mejor aproximación lineal a la función en un punto. Esto sigue siendo cierto en dimensiones superiores. La derivada de la función $f$ por encima de es

$df = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xy & x^2\end{bmatrix}$.

El significado conceptual de la derivada es este:

$$f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y) + df(\begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix}) = x^2y + \begin{bmatrix} 2xy & x^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix} = x^2y+2xy\Delta x + x^2\Delta y$$

En otras palabras, en cada punto de $(x,y)$ la derivada es lineal en el mapa que lleva a un pequeño cambio $\begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y\end{bmatrix}$ distancia desde el punto de $(x,y)$ y devuelve el cambio aproximado en $f$ resultante.

Ahora supongamos que alguien me dijo que una cierta función del $g$ $g(0,0)=0$ había derivado $\begin{bmatrix} y\cos(xy) & x\cos(xy)\end{bmatrix}$, y quería averiguar lo $g$ fue. En este caso, yo podría, probablemente, sólo resolver las ecuaciones diferenciales $\frac{\partial g}{\partial x} = y\cos(xy)$ $\frac{\partial g}{\partial y} = y\cos(xy)$ por la inspección, pero esto no siempre será posible.

Vamos a apegarnos a algo más fácil problema de aproximar $g(1,1)$. Aquí está mi idea para hacer: voy a recoger un camino de $(0,0)$ (cuyo valor lo sé) a $(1,1)$. Voy a dividir que la ruta de acceso en millones de vector de cambios. A continuación, voy a usar lo que sé acerca de la derivada para aproximar el cambio en $g$ sobre cada uno de esos pequeños cambios y sumarlos. Esto debería darles una bonita aproximación razonable.

En este caso, puedo ver que puedo escoger el camino de $\gamma:[0,1] \to \mathbb{R}^2$$\gamma(t) = (t,t)$. La división de este en $k$ piezas, tengo las siguientes aproximaciones:

$$g(\frac{1}{k},\frac{1}{k}) \approx g(0,0) + dg|_{(0,0)}\left(\begin{bmatrix} \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k}\end{bmatrix}\right)$$.

Así que, a continuación,

$$g(\frac{2}{k},\frac{2}{k}) \approx g(\frac{1}{k},\frac{1}{k}) + dg|_{(\frac{1}{k},\frac{1}{k})}\left(\begin{bmatrix} \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k}\end{bmatrix}\right) \approx g(0,0) + dg|_{(0,0)}\left(\begin{bmatrix} \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k}\end{bmatrix}\right) + dg|_{(\frac{1}{k},\frac{1}{k})}\left(\begin{bmatrix} \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k}\end{bmatrix}\right)$$.

Continuando de esta manera , vamos a ver que

$$g(1,1) \approx g(0,0) + \sum_{i=0}^k dg\big|_{\frac{i}{k}}\left(\begin{bmatrix} \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k}\end{bmatrix}\right)$$

Tiene sentido darles algún nombre para este proceso. Podemos definir el límite de la suma anterior a la integral de la covector campo $dg$ a lo largo de la ruta de $\gamma$. Consulte mis otros post para que la definición general, en lugar de sólo un ejemplo particular como este.

Hasta el momento hemos definido la integral sólo para los derivados de las funciones, y hemos definido exactamente de tal manera que el siguiente teorema fundamental del cálculo se tiene:

$$g(P_1) - g(P_0) = \int_\gamma dg$$ for any path $\gamma$ from $P_0$ to $P_1$. But the definition of the integral never used the fact that we were integrating the derivative of a function: it only mattered that we are integrating a covector field (i.e. a gadget which eats change vectors and spits out numbers). So we can use exactly the same definition to give the integral of a general covector field $\begin{bmatrix} f(x,y) & g(x,y)\end{bmatrix}$, que puede o no puede ser la diferencial de una función.

(Hay, sin duda covector campos que no son derivados de las funciones. Por ejemplo, $\begin{bmatrix} x & x\end{bmatrix}$ podría no ser la diferencial de una función, pues si lo fuera tendríamos $\frac{\partial f}{\partial x} = x$$\frac{\partial f}{\partial y} = x$. Pero, a continuación, la mezcla de los parciales de $f$ no sería igual, contradiciendo Clairout del teorema.)

$dx$ es la constante covector campo $\begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix}$, e $dy$ es la constante covector campo $\begin{bmatrix} 0 & 1\end{bmatrix}$. Así que podemos escribir cualquier covector campo $\begin{bmatrix} f(x,y) & g(x,y)\end{bmatrix}$$f(x,y)dx + g(x,y)dy$. La integración de esta cosa a lo largo de una curva es PRECISAMENTE lo que define como una integral de línea en su primer curso de cálculo multivariable.