Resolver una ecuación con potencias fraccionarias

Question

Estaba tratando de buscar el valor máximo de una función. Tomé la primera derivada y llegó a esta expresión horrible:

$$ (x^2 + y^2)^\frac{3}{2} - y {\frac{3}{2}}(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}2y = 0$$

¿Cómo puedo encontrar la extrema a mano?

Answer 1

Sugerencia: factor $(x^2+y^2)^\frac{1}{2}$

Answer 2

Después de algunas simplificar pasos, $$(x^2 + y^2) ^ \frac {3} {2} - y {\frac{3}{2}} (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {\frac {1} {2}} 2y = 0, \\ (x ^ 2 + y ^ 2) ^ \frac {3} {2} - 3y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {\frac {1} {2}} = 0, \\ (x ^ 2 + y ^ 2) ^ {\frac {1} {2}} \left (x ^ 2 + y ^ 2-3y ^ 2 \right)=0, \\ x ^ 2 + y ^ 2 = 0 \Rightarrow x = 0 , \;y=0, \\ \text{or}\\ x ^ 2-2y ^ 2 = 0 \Rightarrow | x | = \sqrt {2} | y. $$

Answer 3

Después de factoring $(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$ y ajuste el segundo término $=0$:

$$2y^{2} = x^2$$ $$ y = \frac{x}{\sqrt{2}} $$

Answer 4

$$ (x^2 + y^2)^{3/2} - y {\frac{3}{2}}(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}2y = 0$$

$$\iff (x^2 + y^2)^{1/2}\left((x^2 + y^2 - 3y^2)\right) = 0$$

$$\iff (x^2 + y^2)^{1/2}\left(x^2 - 2y^2\right) = 0$$

$$\iff (x^2 + y^2) = 0 \;\;\text{ or }\;\;x^2 = 2y^2$$

$$\iff \quad ?$$

Answer 5

Definir una nueva variable:

$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$

A continuación sigue:

$$\begin{array}{rcl} (x^2 + y^2)^\frac{3}{2} - y \frac{3}{2}(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}2y & = & 0 \\ (x^2 + y^2)^\frac{3}{2} - 3(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}y^2 & = & 0 \\ r^3 - 3y^2r & = & 0 \\ r^2 - 3y^2 & = & 0 \\ r^2 & = & 3y^2 \\ x^2 + y^2 & = & 3y^2 \\ x^2 & = & 2y^2 \\ x & = & \pm \sqrt{2}y \\ \end{matriz} $$