¿Cómo sería probar $|x + y| \le |x| + |y|$?

Question

Cómo se escribe una detallada prueba estructurada para:

para todos números verdaderos $x$ y $y$, $|x + y| \le |x| + |y|$

Estoy pensando en romper en cuatro casos, donde ambos $x,y < 0$, $x \ge 0$ y $y<0$, $x<0$ y $y \ge0$ y $x,y \ge 0$. Pero no estoy seguro de cómo voy escribir formalmente.

¡Gracias!

Answer 1

Usted está absolutamente en el camino correcto. A modelo un caso para usted, y puedes probar los otros casos por su cuenta.

Caso 1: $x,y\geq 0$. A continuación, $x+y\geq 0$, que $|x+y|=x+y$. Del mismo modo, $|x|=x$ porque $x\geq 0$ y $|y|=y$ porque $y\geq 0$. Así $|x+y|=x+y=|x|+|y|$.

Answer 2

Aquí está una prueba alternativa, sin cualquier caso distinciones, utilizando la definición $$ | p | = p \max -p $$ para que podemos utilizar las propiedades de $\;\max\;$, que son más simples que los de $\;|\phantom p|\;$. En este caso comenzamos en el lado derecho de la ecuación, que parece ser la parte más compleja, y calcular para cada $\;x,y\;$:\begin{align} & |x| + |y| \\ = & \;\;\;\;\;\text{"the above definition, twice"} \\ & (x \max -x) + (y \max -y) \\ = & \;\;\;\;\;\text{"%#%#% distributes over %#%#%"} \\ & (x + (y \max -y)) \max (-x + (y \max -y)) \\ = & \;\;\;\;\;\text{"%#%#% distributes over %#%#%, twice more; %#%#% is associative"} \\ & (x+y) \max (x-y) \max (-x+y) \max (-x-y) \\ \geq & \;\;\;\;\;\text{"%#%#%, twice"} \\ & (x+y) \max (-x-y) \\ = & \;\;\;\;\;\text{"the above definition"} \\ & |x + y| \\ \end {Alinee el}

Answer 3

Usted podría considerar los siguientes:

Considerar la cuadratura de ambos lados ya que ambos lados son no negativos (no tienes que preocuparse por tirones del signo). Cancelación de los rendimientos $$xy \leq |x||y|$ $

que es cierto.