¿Cómo funciona esta discontinuidad se producen en la evaluación de un anidada raíz cuadrada?

Question

Esta pregunta se basa en un comentario que hice en una cuestión de probabilidades de ser cerrado. Deje $$y=\sqrt {x+ \sqrt {x+ \sqrt {x+ \sqrt {x+ \sqrt {x+ \dots}}}}}$$ ser el clásico anidada de la raíz cuadrada, que ha aparecido muchas veces en las preguntas de una forma u otra.

Tenemos $y^2=x+y$, de modo que $$y=\frac {1\pm\sqrt {1+4x}}2$$

Ahora si $x\gt 0$$y\gt 0$, y debemos tomar la raíz cuadrada positiva, y hemos $y\gt 1$ y tiende a $1$ $x$ se aproxima a cero desde arriba.

Si $x=0$ es obvio que tenemos $y=0$ y esto se logra tomando la raíz cuadrada negativa en la fórmula cuadrática. La raíz cuadrada positiva da el límite de $1$, lo que se ve ridículo como un valor de la expresión.

Estoy en busca de una explicación de cómo esta bastante curioso discontinuidad surge - ¿cuáles son los signos de peligro que podría haber un problema con este valor?

---

Nota (8 de julio) - todavía no estoy satisfecho de que he desarrollado un sonido intuición de lo que está pasando aquí, excepto que la anidación de las raíces cuadradas necesidad no conmuta con otras límite de operaciones en puntos críticos - es una desagradable operación que cumple el ojo.

Answer 1

Considerar el problema más sencillo $\sqrt{\sqrt{\sqrt{\ldots\sqrt{x}}}}$. Si $x=0$, en cada cuadrado de la raíz produce 0 por lo que el límite es 0. Pero si $x>0$, a continuación, cada raíz cuadrada empuja el valor hacia el 1 y el límite es 1.

Ahora, volviendo a tu problema, si $x=0$, entonces el problema se reduce a que el simplificado. También, si $x$ es muy pequeño y positivo, tu problema es similar a la simplificación del problema debido a la adición de $x$ a cada cuadrado de la raíz no cambia mucho.

Así, la discontinuidad en el problema existe por la misma razón que en la simplificación del problema: el 0 y el 1 son independientes de las cuencas de atracción de la función de raíz cuadrada.

Answer 2

Para $x > 0$, la función $g(y) = \sqrt{x + y}$, $-x \le y < \infty$, tiene un punto fijo $p = (-1 + \sqrt{1 + 4 x})/2$ (la otra solución, $q = (-1 - \sqrt{1+4x})/2$ está fuera del dominio). Desde $0 < g'(p) = \dfrac{1}{\sqrt{4 x+2+2 \sqrt{1+4 x}}} < 1 $, este punto fijo es siempre estable; de hecho es globalmente estable. Sin embargo, para $x=0$ la segunda solución, $q$ es un punto fijo que es un extremo del dominio, y por $-1/4 < x < 0$ es un punto fijo en el interior del dominio.

Ahora su anidada raíz cuadrada debe interpretarse como el límite, si existe, de una secuencia $y_n$$y_{n+1} = g(y_n)$. En principio, esto dependerá de lo que se toma como el punto de partida $y_0$. Si $x > 0$, no importa porque el punto fijo, $p$ es globalmente estable: para cualquier $y_0 \in [-x,\infty)$, $\lim_{n \to \infty} y_n = p$. Para $x = 0$, esta será el caso si $y_0 > 0$, pero si comienzas a $y_0 = 0$ te quedas allí.
Para $-1/4 < x < 0$, de nuevo ha $y_n \to p$ si $y_0 > q$, pero $y_n$ finalmente se convierte en indefinido si $y_0 < q$.

Answer 3

Hmm, no vamos a newbs agregar comentarios, así que tengo que agregar otra respuesta. Una manera de conseguir mi resultado es definir primero $y=\sqrt{g}$, y la cadena es:

$$g=x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}\\ \frac{d}{dx}{g}=1+\frac{d}{dx}\sqrt{x+\sqrt{x+...}}=1+y'\\ \frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}\sqrt{g}=\frac{g^{-1/2}}{2}\frac{d}{dx}{g}=\frac{1}{2y}(1+y'), \left\{y\ne0\right\}$$

Usted puede obtener la misma cosa a través de la diferenciación implícita de $y^{2}=y+x$. Marca Bennet enfoque se bloquea porque no están autorizados a tomar un derivado de la multivalor relación con la primera sin la restricción de la gama. Al hacerlo, se podría comparar a$y(0)$$\lim\limits_{x\to0^+}y$, reconocer la discontinuidad apriori, y de este modo anticipar la rareza de la tradicional derivado de la fórmula; esto está lejos de ser intuitiva. Sin embargo, usted puede ver que si se aplica la definición formal de la derivada y el intento de evaluar en $x=0$:

$\frac{d}{dx}y\bigg|_{x=0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h+\sqrt{x+h+...}}-\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}{h}\bigg|_{x=0}=\lim\limits_{h\to0}\sqrt{\frac{1}{h}+\sqrt{\frac{1}{h^3}+...}}$

--un límite que claramente no existe.

Answer 4

Para responder a "¿cómo" a la discontinuidad de la que surge, acaba de tomar la derivada:

y' = (1+y') / (2y)

Lo siento, no sé cómo hacer la bonita matemáticas..de todos modos, incluso después de una sola aplicación de la regla de la cadena es obvio que hay una discontinuidad en x=0.