Una desigualdad que se propuso en la Zhautykov Olimpiada de 2008

Question

Una desigualdad que se propuso en la Zhautykov Olimpiada de 2008

Vamos a ser$a,b,c >0$$abc=1$. Probar que:

$$\sum_{cyc}{\frac{1}{(a+b)b}} \geq \frac{3}{2}.$$

$a=\frac{x}{y}$, $b=\frac{y}{z}$, $c=\frac{z}{x}$.

Nuestra desigualdad se convierte en: $$\sum_{cyc}{\frac{z^2}{zx+y^2}} \geq \frac{3}{2}.$$ Now we use that: $z^2+x^2 \geq 2zx.$ $$\sum_{cyc}{\frac{z^2}{zx+y^2}} \geq \sum_{cyc}{\frac{2z^2}{z^2+x^2+2y^2}} \geq \frac{3}{2}.$$

Ahora la aplicación de Cauchy Schwarz obtenemos el resultado deseado .

Lo que yo escribí se puede encontrar en este enlace: mateforum. Pero ahora, no sé cómo se aplican de Cauchy-Schwarz .

Gracias:)

Answer 1

Desde $\mathrm{LHS}$ de la última desigualdad es homogénea que puede asumir la $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Entonces se convierte en $$\mathrm{LI} = 2\sum_{cyc} \frac {x^2} {1 + z^2} =:2I$$ Ahora el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad obtenemos $$1 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 = \left(\sum_{cyc} x\sqrt{1 + z^2} \cdot \frac x {\sqrt{1 + z^2}}\right)^2 \leq\\ \left(\sum_{cyc} x^2(1 + z^2)\right) \cdot \left( \sum_{cyc} \frac {x^2}{1 + z^2} \right) = I \cdot \sum_{cyc} x^2(1 + z^2)$$ Para terminar, tomemos nota de que CS la desigualdadimplica $$x^2\cdot z^2 + y^2 \cdot x^2 + z^2 \cdot y^2 \leq x^4 + y^4 + z^4$$ y por lo tanto $$\sum_{cyc} x^2(1 + z^2) = 1 + x^2 z^2 + y^2 x^2 + z^2 y^2 \leq 1 + \frac {(x^2 + y^2 + z^2)^2} 3 = \frac 4 3$$