La entrada de la Wikipedia en Primer lagunas pueden servir como un buen punto de partida para este problema.
El más conocido incondicional límite en el tamaño de las principales carencias es debido a Baker, Harman, Pintz que demostró que siempre hay un primer entre el $x$ $x+x^{21/40}$ para suficientemente grande $x$. La aplicación de este resultado para el intervalo de $(n^q, (n+1)^q)$ mediante la estimación de $(n+1)^q \geq n^q + qn^{q-1}$ nos dice que la toma de $q\geq 40/19$ va a trabajar para suficientemente grande $n$.
Algunos de los conocidos conjeturas podía llegar más abajo:
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Hipótesis de Riemann y también el más débil Lindelöf hipótesis implica que $q$ puede ser llevado a ser igual a $2+\varepsilon$ cualquier $\varepsilon>0$. Ambos están a punto de llegar a $q=2$, sin embargo.
- Mientras que es no es cierto que el primer lagunas $O(\log n)$ un comentario sugerido, Cramér la conjetura de que las reclamaciones que se $O(\log^2 n)$, lo que nos permitiría tomar $q=1+\varepsilon$ cualquier $\varepsilon>0$.
Todos los límites anteriores mantienen para $n$ lo suficientemente grande. Si realmente nos insisten en que el obligado sea válido para cualquier entero positivo $n$, es posible demostrar que el $q>\log_{95}(1151)$. Esto se puede hacer mediante la búsqueda de intervalos cerrados $I_{n,k}$ tal que para cualquier $q\in I_{n,k}$, $p_k \leq n^q \wedge (n+1)^q \leq p_{k+1}$ (donde $p_k$ denota $k$-ésimo primo). En otras palabras, si el intervalo no está vacía, puede ser expresado como $$I_{n,k}=\left[\log_{n}(p_k),\log_{(n+1)}(p_{k+1})\right]=\left[\frac{\log p_k}{\log n},\frac{\log p_{k+1}}{\log (n+1)}\right]$$
Desde nuestra deseada $q$ tiene que trabajar para todos los $n$, no puede ser miembro de cualquier intervalo. Por lo tanto, con el fin de mostrar el obligado se mencionó anteriormente, es suficiente para exponer un conjunto de intervalos de cuya unión cubre $[1,\log_{95}(1151)]$. Uno de esos conjuntos se enumeran a continuación (sólo los índices $(n,k)$$I_{n,k}$):
$(3,2)$, $(6,4)$, $(5,4)$, $(7,6)$, $(10,9)$, $(4,4)$, $(24,30)$, $(119,217)$, $(35,47)$, $(8,9)$, $(22,30)$, $(32,47)$, $(105,217)$, $(94,189)$.
Por supuesto, esta obligado podría no ser definitiva; se basa sólo en computer-aided cálculo más pequeños los valores de $n$$k$.
En la no comprobada de la tierra, de Legendre de la conjetura de los estados que exponente $q=2$ debe funcionar para todas las $n$. También, hay una explícita obligado disponibles para la $q=3$ de los casos; así que sabemos que es cierto (al menos) por $n\geq e^{e^{15}}$ y por lo tanto puede tener a lo sumo un número finito de "fracasos".
