Describir todos los holomorphic funciones.

Question

Problema: Describir la clase de todos los holomorphic funciones en $\mathbb{C}-\{0\}$ tal que

$$\sup_{(x,y)\neq (0,0)}\frac{|f(x+iy)|}{|\log(x^2+y^2)|}<\infty.$$

Intento de solución:

Deje $z=x+iy$, entonces tenemos:

$$\frac{|f(z)|}{|\log|z|^2|}\leq c$$. Así,

$|f(z)|\leq c|\log|z|^2|.$

Por lo suficientemente grande como $z$,$|\log|z|^2|\leq |z|^2$, por lo que obtenemos:

$$|f(z)|\leq c|z|^2.$$ Now by extented Liouville's Theorem, $f(z)$ debe reducir a un polinomio de grado a lo sumo dos.

Es esto correcto?

Gracias!

Answer 1

También debemos considerar el hecho de que $f$ podría tener una singularidad en $z=0$. Sin embargo, podemos manejar debido a que $$ \begin{align} \lim_{z\to0}|zf(z)| &\le\lim_{z\to0}|z|2c\log(|z|)\\ &=0 \end{align} $$ Riemann, el Teorema dice que la singularidad en $z=0$ es extraíble. Ahora, el uso de Cauchy de la Integral de la Fórmula obtenemos que $$ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\cualquier\frac{f(w)\,\mathrm{d}w}{(w-z)^{n+1}} $$ donde la integral es más de un sentido antihorario círculo de radio $R$. Esto significa que $$ \left|\,f^{(n)}(z)\,\right|\le\frac{n!}{R^n}2c\log(R) $$ Al igual que con la prueba de Liouville del Teorema, nos muestran que la $f^{(n)}(z)=0$ $f$ debe ser constante, y desde $f(z)=0$ al $|z|=1$, sabemos que $f(z)=0$.

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Se añadió una nota.

He mencionado anteriormente que sus condiciones implican que $f(z)=0$ al $|z|=1$. Esto en sí mismo implica que $f(z)=0$ a todas partes desde que $\{z:f(z)=0\}$ tiene un punto de acumulación (ver en esta sección).