Algunos teoremas en geometría euclidiana tienen demostraciones incompletas

Question

He visto que, en geometría euclidiana, las demostraciones de algunos teoremas utilizan una instancia de la 'forma geométrica' (sobre la cual se basa el teorema) para demostrar el teorema. Por ejemplo, la prueba de 'Una línea recta que divide proporcionalmente dos lados de un triángulo, es paralela al tercer lado' usa solo una instancia de un triángulo---como:

ABC es la instancia

Luego, se agregan construcciones a este diagrama para demostrar el teorema.

Claramente, la prueba no es general. Porque, solo se tiene en vista un triángulo. Por lo tanto, esta demostración no es precisa. Debemos tener una demostración general, debe existir una. Aún no he visualizado cómo podría ser esta demostración general. Entonces, ¿por qué la gente llama a este tipo de prueba, una demostración? ¿Es una prueba matemática completa?

Answer 1

El diagrama está destinado a facilitar la explicación y la anotación de hechos. No puedes usar "propiedades obvias" en el diagrama para motivar tu argumento. Por ejemplo, no puedes suponer que todos los ángulos de un triángulo deben ser agudos.

Es posible que las demostraciones geométricas que se basan en gran medida en diagramas estén equivocadas. Un ejemplo común es que "Todos los triángulos son isósceles", en el que el fallo radica en hacer una suposición inocua sobre la posición de un punto.

Otras instancias incluyen argumentos sobre longitudes de lados y ángulos. Por ejemplo, si los puntos $A< B, C$ están en una línea, ¿es cierto que $|AC| = |AB|+|BC|$? En un contexto general, esto requiere el uso de longitudes dirigidas.

Answer 2

Para probar una afirmación general sobre todos los triángulos, basta con considerar un triángulo y dar una prueba para ese triángulo siempre y cuando no se utilicen suposiciones adicionales sobre ese triángulo. La razón por la que esto es suficiente es que, debido a que no se utilizaron suposiciones especiales, la misma prueba se aplicará igualmente bien a todos los demás triángulos.

Answer 3

Esto es y no es un problema.

La prueba está en las palabras, no en el diagrama. El diagrama simplemente sugiere qué palabras usar, o ilustra pasos en la prueba que de otra forma serían difíciles de seguir. Una vez que una prueba está escrita, el diagrama es lógicamente irrelevante y no forma parte de la prueba. En este sentido, el diagrama no puede tener ningún efecto en la validez de la demostración.

Una prueba inspirada por un conjunto limitado o inexacto de diagramas puede pasar por alto algunos casos posibles o hacer suposiciones inválidas sobre la posición de objetos en el diagrama. Esto no es tan grande un problema como podría parecer, porque las pruebas que son correctas para los casos representados por algunos diagramas (dibujados con precisión), a menudo pueden interpretarse de maneras que cubren el caso general, como permitir valores negativos para medidas de longitud, área y ángulo.

Answer 4

No tengo una respuesta completa, pero aquí hay una observación relevante sobre tu ejemplo. La declaración es en realidad una afirmación de geometría afín, ya que trata solo con proporciones de segmentos de línea paralelos, no longitudes absolutas o ángulos. En geometría afín, todos los triángulos son equivalentes, por lo que podemos considerar cualquier triángulo sin pérdida de generalidad.

Con esa información en mano, somos libres de formular una prueba cuyos pasos intermedios hacen suposiciones restrictivas sobre el triángulo. Por ejemplo, podría ser conveniente asumir que la altura desde $P$ hasta $\overleftrightarrow{AB}$ intersecta $\overline{AB}$. Esto es cierto si el triángulo es agudo, ¡así que asumiremos sin pérdida de generalidad que es agudo! La prueba resultante parecerá superficialmente aplicable a un subconjunto apropiado de triángulos, pero el paso "s.p.g." extiende el resultado a todos los triángulos.