Lisura de las funciones armónicas

Question

Deje $Q$ ser un dominio en la mitad de espacio -$\mathbb R^n\cap\{x_n>0\}$, y parte de su límite es un dominio de $S$ sobre el hyperplane $x_n=0$. Deje $u\in C(\bar Q)\cap C^2( Q)$ satisfacer $\Delta u=0$$Q$, y para algunos fijos $\bar b=(b_1,\ldots,b_n)$, $b_n\ne0$, $$ \lim_{x_n\to0+}\frac{ \partial u}{\partial\bar b}=f\in C(S)\quad \hbox{a.e. en $S$}. $$ De lo anterior se sigue que el $\frac{ \partial u}{\partial\bar b}$ es continua en a $S$?

Un caso especial: si $$ \lim_{x_n\to0+}\frac{ \partial u}{\partial x_n}=0\quad \hbox{a.e. en $S$}, $$ se $u$ ser suave en $Q\!\cup\! S$? También es suficiente para demostrar que $\frac{ \partial u}{\partial x_n}$ es continua en a $S$.

Answer 1

Esto es cierto por los resultados de regularidad elíptica estándar, por ejemplo, por la teoría de Agmon-Douglis-Nirenberg. Aún más es cierto:$u$ es suave y las derivadas parciales de todos los pedidos son continuas hasta$S$.