Enteros $n$ para el cual la suma de dígitos de $n$ excede la suma de dígitos de $n^5$

Question

Esta pregunta está fuertemente inspirada en ¿El entero más pequeño cuya suma de dígitos es mayor que la de su cubo? por Bernardo Recamán Santos.

El número $n=124499$ tiene una suma de dígitos $1+2+4+4+9+9=29$ mientras que su cuarta potencia $n^4=240250031031001002001$ tiene una suma de dígitos (estrictamente) más pequeños $2+4+0+2+5+0+0+3+1+0+3+1+0+0+1+0+0+2+0+0+1=25$ .

En general, para un exponente entero fijo $k \ge 2$ podemos pedir el conjunto de números enteros positivos $n$ cuya suma de dígitos excede la de $n^k$ . Uno encuentra:

$$ \begin {array}{|r|l|} k & \text {values $ n $ so that $ \mathrm (n) \mathrm (n^k) $} \\ \hline 2 & 39, 48, 49, 79, 149, 179, 249, 318, 348, 349, 389, 390, 399, \ldots \\ 3 & 587, 5870, 28847, 28885, 28887, 46877, 48784, 49468, 49639, \ldots \\ 4 & 124499, 1244990, 12449900, 124499000, 594959999, 1244990000, 1349969999, \ldots \\ 5 & ? \\ \hline \end {array}$$

Una observación inmediata es que si $n$ pertenece a una fila de arriba, así que $10^j \cdot n$ ya que añadir un montón de ceros no cambia la suma de dígitos de $n$ o su poder $n^k$ . Un $n$ que no termina en $0$ puede ser considerado como "primitivo".

De un comentario en A122484 sabemos que en el $k=4$ la fórmula:

$$f(i)=75 \cdot 10^{2i}-4 \cdot 10^{i+1}-1 \quad , \quad i=7,8,9,10, \ldots $$

produce milagrosamente infinitamente muchos "primitivos" $n$ valores para $k=4$ .

La pregunta aquí es, ¿existen números como este para el exponente $k=5$ y más alto?

(O: En $39,587,124499, \ldots $ ¿qué viene después?)

Incluso si la heurística parece implicar que es improbable que los altos valores de $k$ (el número de dígitos aumenta dramáticamente cuando se pasa de $n$ a $n^k$ ), tal vez existan fórmulas milagrosas al estilo de $f(i)$ sobre los que se producen ejemplos de $k=5$ o más alto?

Observamos que si dejamos la base $10$ e ir a radixes mucho más altos $b$ entonces se hace fácil encontrar ejemplos de $k=5$ .

Answer 1

Estas fórmulas para dichos números existen para todos los números pares $k$ . La fórmula no es tan mágica como parece. Considere

$$ 10^{ni}-m\sum_{s=0}^{n-1}10^{si}\;. $$

con fijo $m,n$ para todos $i$ . Existen $n$ tramos de $O(i)$ nueves en este número. Llevándolo al $k$ -ésima potencia produce

$$ \left(10^{ni}-m10^{(n-1)i}\right)^k+R\quad\text{with}\quad R\in o\left(10^{k(n-1)i}\right)\;. $$

Incluso para $k$ los términos con mayor poder de $m$ en el resto $R$ son todas positivas, por lo que haciendo $m$ suficientemente grande, podemos hacer que todos los términos en $R$ positivo. Entonces sólo tenemos $k/2$ términos negativos en la potencia principal y, por tanto, sólo $k/2$ tramos de $O(i)$ nueves, y todos los demás tramos de $O(i)$ Los dígitos repetidos son ceros. Los dígitos constantes restantes contribuyen $O(1)$ a la suma de dígitos, por lo que para $n\gt k/2$ el mayor número de $O(i)$ los tramos de nueves ganan por goleada $i$ .

Por desgracia, esto no funciona para impar $k$ ya que $R$ contiene entonces una mezcla de signos. No obstante, se podrían buscar sistemáticamente fórmulas de este tipo utilizando la función ansatz

$$ \sum_{s=0}^nc_s10^{si}\;, $$

ampliar la $k$ -ésima potencia y resolver el programa lineal resultante de exigir que sólo un pequeño número de términos sean negativos.