Así que, como usted puede haber adivinado, esta es una pregunta complicada. No sé cuál sea tu pasado, así que no dude en preguntar para aclarar algunas cosas.
Así, supongamos que usted quería estudiar curvas elípticas sobre un campo, tal vez de más de $\mathbb{C}$$\mathbb{Q}_p$. Una especie de pregunta natural que podría empezar a preguntar es si hay una forma geométrica para el estudio de todas las curvas elípticas a la vez. Es decir, hay un espacio geométrico $X$ de manera tal que el siguiente diccionario contiene:
$$\left\{\begin{array}{c}\text{Geometric information}\\ \text{on }X\end{array}\right\}\longleftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\text{Information about}\\\text{all elliptic curves}\end{array}\right\}$$
Esto sería ideal desde entonces podríamos estudiar todo y todo su equipo por tan sólo el estudio de este objeto $X$.
Una forma común de esto es tratar de entender el espacio de moduli de curvas elípticas. Aquí es donde las cosas se ponen pesadas (esperamos que sea de utilidad para usted). Para hacer de este espacio a la derecha, tenemos que no sólo se centran nuestra atención en algún campo como el de la $\mathbb{C}$ o $\mathbb{Q}_p$, pero en TODOS los planes (si no estás familiarizado con los esquemas, reemplazarlos con los anillos).
En particular, para cualquier esquema de $X$ hay una noción de elíptica esquema de $E/X$ (aproximadamente es una familia de curvas elípticas indexados por los puntos de $X$). Podríamos entonces considerar el functor
$$\mathcal{Ell}:\mathbf{Sch}\to\text{Set}$$
dada por
$$\mathcal{Ell}\left(X\right)=\left\{\text{Elliptic schemes over }X\right\}/\sim$$
donde $\sim$ significa 'hasta el isomorfismo'. Así, por ejemplo, $\mathcal{Ell}(\text{Spec}(\mathbb{C}))$ sería el isomorfismo clases de curvas elípticas sobre $\mathbb{C}$.
Podríamos, entonces, preguntar si este functor $\mathcal{Ell}$ es representable, lo que significa que, como un functor, es isomorfo a $\text{Hom}(-,X_0)$ para algunos esquema de $X_0$. Esto significaría que para dar una elíptica esquema de $E/X$ sería lo mismo que dar un morfismos $X\to X_0$. La geometría algebraica en el raw nos dice que $X_0$ sería el candidato adecuado para un espacio en el que la geometría nos dice sobre curvas elípticas.
Por desgracia, el functor $\mathcal{Ell}$ no es representable! El problema, en definitiva, es la existencia de 'automorfismos'. La no rigidez de curvas elípticas hace imposible. Lo mejor para entender esto preguntando a ti mismo la siguiente pregunta: "¿es posible que yo pudiera tener un bijection entre clases de isomorfismo $E/X$ y morfismos $X\to X_0$ si $E$ tenía no trivial de automorfismos?" (Con el tiempo, este es el impulso de la denominada teoría de pilas, $\mathcal{Ell}$ no está representado por un esquema, pero está representado por [más correctamente es] una pila, llamados $\mathcal{M}_{1,1}$).
Una manera de intentar hacer $\mathcal{Ell}$ más de probabilidades de ser representable es la imposición adicional de la estructura de los objetos que estamos tratando de estudio. Este extra estructura hará que sea más difícil tener automorfismos, y así hacer que sea más probable que una representación de objeto (espacio de moduli), cuya geometría nos dice cosas acerca de los objetos, es probable que existan.
Una manera de agregar este extra estructura para curvas elípticas es mediante la adición de los datos de un punto de orden $N$. Así, en lugar de curvas elípticas, tratamos de estudio pares de $(E,P)$ de curvas elípticas $E$, junto con un punto de orden exacto $N$. Una vez más, para entender la geometría, para tratar y definir un espacio de moduli, tenemos que pasar a todos los esquemas. Es decir, para un esquema de $X$, existe un concepto de una elíptica esquema de $E/X$, y un punto de $P$ orden $N$'' $E$. Podemos luego, más o menos, considerar el functor
$$Y_1(N):\mathbf{Sch}\to\text{Set}:X\mapsto \left\{(E,P)\text{ over }X\right\}/\sim$$
Resulta que hemos suficientemente impuesta rígidamente la situación, y $Y_1(N)$ es, de hecho, representable! Llamamos a la representación de esquema también se $Y_1(N)/\text{Spec}(\mathbb{Z})$ (Yoneda filosofía nos dice que no se distinguir entre un objeto y sus asociados Hom functor).
Esto es genial, el esquema de $Y_1(N)$ tiene la geometría que nos dice acerca de los pares de $(E,P)$. Pero, ¿qué tiene que ver esto con $\mathbb{H}/\Gamma_1(N)$?
Bien, supongamos que queremos estudiar no todos los pares de $(E,P)$ sobre todos los esquemas, pero sólo aquellos de los que más de $\mathbb{C}$. Bien, pensar acerca de cómo, precisamente, hicimos $Y_1(N)$. Nos hizo como que
$$Y_1(N)(\text{Spec}(\mathbb{C}))=\left\{(E,P)\text{ over }\mathbb{C}\right\}/\sim$$
Así, el $\mathbb{C}$-puntos de $Y_1(N)$, literalmente, parametrizar (bijectively corresponden con) isomorfismo clases de pares $(E,P)$.
Dicho esto, por la teoría general de la 'analytification' el conjunto $Y_1(N)(\text{Spec}(\mathbb{C})$, naturalmente, tiene la estructura de un complejo colector, cuyos puntos son, literalmente, los puntos en $Y_1(N)(\text{Spec}(\mathbb{C}))$. Resulta que este colector es biholomorphic a $\mathbb{H}/\Gamma_1(N)$!
Entonces, ¿cómo es $\mathbb{H}/\Gamma_1(N)$ 'índice' o 'parametrizar" pares $(E,P)$? Así, como un complejo colector, puede ser, naturalmente, identificado con el 'analytification' del espacio de moduli $Y_1(N)$ que, por la propia definición de un espacio de moduli, tiene puntos que parametrizar pares de $(E,P)$.
Espero que esto fue útil. Tengo miedo de haber tomado una gran highfalutin enfoque (aunque veo que usted tiene por lo menos estudiado algo de la geometría algebraica). Si es así, por favor hágamelo saber, y yo l tratar y hacer más simple.
EDIT: Por temor de la posibilidad de enajenar a alguien leyendo esto, permítanme dar mucho más abajo-a-tierra (pero honestamente menos satisfactoria) respuesta:
i) No es un 'natural' bijection entre el $\mathbb{H}/\Gamma_1(N)$ y el conjunto de $S$ de isomorfismo de curvas elípticas sobre $\mathbb{C}$ con un punto específico del orden exactamente $N$. Por supuesto, en esta aproximación ingenua (no utilizando la maquinaria más arriba), $S$ no tiene estructura inherente, aparte de ser un conjunto, por lo que no tiene sentido decir que son, tal vez, bioholomorphic. El bijection es justo
$$\mathbb{H}/\Gamma_1(N)\xrightarrow{\approx}S:\tau\mapsto (E_\tau,\frac{1}{N})$$
donde $E_\tau=\mathbb{C}/\Lambda_\tau$, e $\Lambda_\tau=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$. Tenga en cuenta que, de hecho, $\displaystyle \frac{1}{N}$ es un punto de orden $N$ en el grupo $E_\tau$.
La aparentemente innecesaria la notación $\Lambda_\tau$ es en realidad bastante natural. En algún sentido filosófico, $\mathbb{H}/\text{SL}_2(\mathbb{Z})$, el 'espacio de moduli" de todas las curvas elípticas sobre $\mathbb{C}$ (es el analytification de una gruesa espacio de moduli de curvas elípticas, si eso significa algo para usted), en realidad de la forma más natural de los índices de celosía hasta homothety. El bijection ser $\tau\mapsto\Lambda_\tau$. El hecho de que las rejillas hasta homothety uniformize curvas elípticas sobre $\mathbb{C}$ es sólo una feliz coincidencia.
2) Si te refieres a la real explicación (por encima de la edición), entonces no. Esto requeriría una gran cantidad de espacio. Si lo que desea es la más simple explicación como en 1), usted probablemente puede probar usted mismo, o, en su lugar, usted puede buscar en las partes pertinentes de Diamante y Shurman de Curvas Elípticas y las Formas Modulares.
