Suma de una serie que involucra poderes de números de Fibonacci.

Question

Estoy interesado en esta serie: $$\mathcal S_p=\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(F_n\right)^p}{2^{np}},\quad p\in\mathbb N,\tag1$$ donde $F_n$ son los números de Fibonacci, que se define por la recurrencia $$F_1=1,\quad F_2=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\tag2$$ o por la fórmula explícita $$F_n=\frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt5},\quad\phi=\frac{1+\sqrt5}2.\tag3$$ Podemos encontrar que $$\mathcal S_1=2,\quad\mathcal S_2=\frac{12}{25},\quad\mathcal S_3=\frac{376}{2201},\quad\mathcal S_4=\frac{16048}{221125},\quad\mathcal S_5=\frac{25697312}{765370111}.\tag4$$

• Podemos demostrar que $\mathcal S_p$ es siempre racional?
• Podemos encontrar una fórmula general, la recurrencia o la generación de la función de $\mathcal S_p$?

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Actualización: yo era capaz de obtener de la siguiente fórmula que involucra finito suma: $$\mathcal S_p=\sum_{m=0}^p\binom{p}{m}\left(\vphantom{\Large|}\left(2\sqrt5\right)^p\,\phi^{p-2 m}+(-1)^{p-m+1}\right)^{-1}.\tag5$$

Answer 1

Una respuesta fácil para el primer semestre: Se sabe que para cualquier $p$, la secuencia de $\mathcal{F}_p = \{(F_n)^p\}$ satisface lineal de la recurrencia de la relación con coeficientes racionales. (Véase, por ejemplo, http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/Fibonomials.html ) Esto implica que la generación de la función (es decir, $\mathcal{F}_p(x)=\sum_n (F_n)^px^n$) es una función racional de $x$ (también con coeficientes racionales). Su suma es entonces sólo el valor de$\mathcal{F}_p(2^{-p})$, por lo que es igualmente racional. Usted aún debe ser capaz de adaptar los métodos en el enlace para darle una forma explícita para la generación de la función y, por tanto, su $\mathcal{S}_p$.