Cubierta universal de la esfera

Question

¿Cuál es el mapa$S^n \longrightarrow S^n$ que define$S^n$ como la cubierta universal de$S^n$?

Answer 1

Desde $S^n$ es de $n \geq 2$ y la identidad es una cubierta de mapas, la identidad va a hacer. Pero tenga en cuenta que la cobertura universal es que no se determina únicamente (que sólo es único hasta un isomorfismo de cubrir espacios), por lo que no hay en el mapa. De hecho, cualquier auto-homeomorphism $\phi$ $S^{n}$ será un universalización de la cobertura $\phi: S^{n} \to S^n$.

El caso de $n = 1$ es diferente, ya que $S^1$ no está simplemente conectado. Su cobertura universal es, por ejemplo, dado el exponencial mapa de $t \mapsto e^{2\pi i t}$$\mathbb{R} \to S^1 = \{z \in \mathbb{C} \,:\,|z| = 1\}$. Para cada $k \in \mathbb{Z} \smallsetminus \{0\}$ el mapa de $z \mapsto z^{k}$ va a determinar un auto que cubre $S^1 \to S^1$ pero ninguno de ellos puede ser un universal que cubre.