Más fuerte que la mezcla fuerte

Question

Tengo el siguiente ejercicio:

"Demuestran que si una medida de preservación de sistema de $(X, \mathcal B, \mu, T)$ tiene la propiedad de que para cualquier $A,B \in \mathcal B$ existe $N$ tal que $$\mu(A \cap T^{-n} B) = \mu(A)\mu(B)$$ para todos los $n \geq N$, $\mu(A) = 0$ o $1$ todos los $A \in \mathcal B$"

Ahora la parte de atrás del libro afirma que debo arreglar $B$$0 < \mu(B) < 1$, y luego encontrar a $A$ el uso de la Categoría de Baire Teorema. Edit: ahora estoy bastante seguro de que este "$B$ ""$A$ " es el resultado requerido.

Edit: Esto dejó de ser una tarea para que me quita la etiqueta. Cualquier enfoque sería agradable. Tengo algo de idea de donde me aproximado de $A$ $T^{-n} B^C$ cuando la $n$ será un aumento de la secuencia y, a continuación, tomar el $\limsup$ de la secuencia. No estoy seguro de si es correcto. Voy a añadir más tarde.

Mi intento después de @Hice el comentario de: "prueba": Primero, escoja $B$$0 < \mu(B) < 1$. A continuación, establezca $A_0 = B^C$ y determine el menor $N_0$ tal que

$$\mu(A_0 \cap T^{-N_0} B) = \mu(A_0) \mu(B)$$

Continuar de esta manera y establecer

$$A_k = T^{-N_{k - 1}} B^C$$

Ahora observamos que el $N_k$ son estrictamente creciente de la secuencia, ya que supongamos que no, decir $N_{k} \leq N_{k - 1}$ $$\mu \left ( T^{-N_{k - 1}} B^C \cap T^{-N_{k - 1}} B \right ) = 0 \neq \mu(B^C) \mu(B) > 0$$

Set $A = \limsup_n A_n$, a continuación, tenga en cuenta que \begin{align} \sum_n \mu(A_n) = \sum_n \mu(B^C) = \infty \end{align}

Por lo $\mu(A) = 1$, por el Borel-Cantelli lema. Bueno, todavía no, porque también estamos obligados a demostrar que los eventos son independientes, por lo que es suficiente para demostrar que $\mu(A_{k + 1} \cap A_k) = \mu(A_{k + 1 })\mu(A_k)$

Sabemos que $\mu(T^{N_k} B^C \cap T^{N_{k + 1}} B) = \mu(B^C)\mu(B)$. Así hace un resultado similar sostienen ahora si reemplazamos $B$ $B^C$ en el la segunda parte?

Nota: \begin{align} \mu(A \cap T^{-M} B^C) &= \mu(A \setminus (T^{-M} B \cap A))\\\ &= \mu(A) - \mu(A)\mu(B) \\\ &= \mu(A) - \mu(A \cap T^{-M} B)\\\ &= \mu(A)\mu(B^C) \end{align} que es lo que se requiere.

Para esto $A$ $B$ podemos encontrar una $M$ $k$ tales que $N_k \leq M < N_{k + 1}$. Now note that $\limsup_n A \cap T^{M} B = \limsup_n (A \cap T^{M} B)$.

Además, $$\sum_n \mu(A_n \cap T^{-N_{k +1}}) = \mu(A_0 \cap T^{-N_{k + 1}}) + \ldots + \mu(A_{k + 1} \cap T^{N_{k + 1}}) < \infty$$ Así que, de nuevo por la Borel-Cantelli Lema que hemos $\mu(\limsup_n A_n \cap T^{-M} B) = 0$. Así tenemos

$$\mu(A) \mu(B) = \mu(B) = \mu(A \cap T^{-M} B) = 0$$

lo cual es una contradicción ya que el $\mu(B) > 0$. Así, $B$'s violar la condición.

Añadido: en Realidad la métrica en el espacio de los acontecimientos $d(A,B) = \mu(A \Delta B)$ puede trabajar junto con los de Categoría de Baire Teorema.

Answer 1

deje $\mathcal{B}$ ser el espacio de los acontecimientos, a continuación, $\mathcal{S}= \mathcal{B}$ (mod $\mu$) equipado con la métrica $d(A,B)=\mu(A\Delta B)$ es un completo espacio métrico, (donde si $(A_n)$ es un koshi secuencia, entonces para cualquier subsequence $(A_{n_k})$ con $\sum_k \mu(A_{n_k}\Delta A_{n_{k+1}})<\infty$, $A_n\to \limsup_kA_{n_k}$).

deje $B \in \mathcal{S}$ tal que $0<\mu(B)<1$, y definir $\Lambda_N = \{A \in \mathcal{S}:\mu(A\cap T^{-n}B)=\mu(A)\mu(B)\space \space(\forall n\geq N) \}$

vamos a demostrar que $\Lambda_N$ está cerrada y la escasez para todos los $N \in \mathbb{N}$:

si $(A_m) \subset \Lambda_N$, e $A_m \to A$, entonces para cualquier $C \in \mathcal{S}$, $A_m\cap C \to A \cap C$, por tanto, para cualquier $n \geq N$ $\mu(A \cap T^{-n}B)=\lim_m\mu(A_n \cap T^{-n}B)=\lim_m \mu(A_m) \mu(B)=\mu(A) \mu(B)$, por lo tanto $A \in \Lambda_N$, lo $\Lambda_N$ es cerrado. (observar que $\mu (\lim_m A_m)= \lim_m \mu(A_m)$$(\mathcal{S},\Delta)$)

para cualquier $A \in \Lambda_N, \mu (A) \neq 1$ y cualquier $\epsilon >0$, tome $C \subset A^c \cap T^{-N}B^c$ tal que $0<\mu(C)< \epsilon$,$\mu((A\sqcup C) \Delta A)= \mu (C)< \epsilon$.

(observar que $\mu(A^{c} \cap T^{-N}B^c)= \mu(A^c) \mu(B^c) \neq0$, y debido a que existen k y una secuencia $N_1 ... N_k$ tal que $\mu((A^{c} \cap T^{-N}B^c) \cap T^{-N_1}B \cap ... \cap T^{-N_k}B)= \mu(A^c) \mu(B^c) \mu(B)^k< \epsilon$, podemos encontrar tal $C$)

pero $\mu((A \sqcup C) \cap T^{-N}B)=\mu(A \cap T^{-N}B)=\mu(A) \mu(B) \neq \mu(A \sqcup C)\mu(B)$, por lo tanto $A\sqcup C \notin \Lambda_N$, lo $\Lambda_N$ es escasa.

ahora, por categoría de baire teorema de la, $\bigcup_{N \in \mathbb{N}} \Lambda_N \subsetneq \mathcal{S}$, por lo tanto, no debe ser algo de $A \in \mathcal{S} - (\bigcup_{N \in \mathbb{N}} \Lambda_N)$ tal que para cualquier $N$ existe $n \geq N$ que $\mu(A \cap T^{-n}B) \neq \mu(A) \mu(B)$.

Comentario: $(\mathcal{S},\Delta) \cong (\{\chi_A:A \in \mathcal{B} \},\| \cdot \|_{L^1})$.

Answer 2

Sugerencia: ¿qué pasa si$A=T^{-N}B$?