Integración de funciones radiales?

Question

Deje $f(|x|)$ ser integrable radial de la función en $\mathbb{R}^n$ ($|\cdot|$ denota la norma euclídea como en la convención). La siguiente identidad se utiliza para simplificar los cálculos

$$\int_{\mathbb{R}^n}f(|x|)\mathrm{d}x = \omega_{n-1}\int_0^\infty f(r) r^{n-1} \mathrm{d}r,$$ donde $\omega_{n-1}$ denota el área de la superficie de la $(n-1)$-esfera de radio 1.

Pero nunca he encontrado ningún completo de pruebas sobre tal tema. ¿Alguien tiene algunas referencias en mente, mejor alguna fuente que me puede en realidad se refiere?

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actualizaciones

Recientemente he encontrado este tema ha sido mencionado por Stein en el apéndice de su libro "Análisis de Fourier", y además se refiere a Buck "Cálculo Avanzado", Folland del "Cálculo Avanzado" y Lang, "Análisis de Pregrado". He ido a través de las dos versiones posteriores. A mí me parece que Lang tratamiento es bastante auto-contenidos, a pesar de que se da en el ejercicio de ahí los detalles omitidos.

Mencionado por TCL, Evan libro sobre teoría de la medida es decente, pero no estoy seguro de si es demasiado pesada. Me siento como el disparo de mosquitos con bazooka.

Answer 1

Las coordenadas esféricas en$\mathbb{R}^n$ se tratan completamente en el libro de Karl Stromberg "Introduction to Classical Real Analysis" p. 369-370, véase aquí . Tenga en cuenta que en la p. 370, muestra el Jacobiano de la transformación de coordenadas como$$r^{n-1} \prod_{j=1}^{n-2} (\sin\theta_j)^{n-j-1}$ $ Así que si su función es radial, entonces \begin{align*}\int_{\mathbb{R}^n}f(|x|)\mathrm{d}x &=\int_{-\pi}^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\cdots\int_0^\infty f(r)r^{n-1}\prod_{j=1}^{n-2} (\sin\theta_j)^{n-j-1}\,dr \, d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}\,d\theta_{n-1}\\&= \omega_{n-1}\int_0^\infty f(r) r^{n-1} \mathrm{d}r,\end {align *} donde$$\omega_{n-1}=\int_{-\pi}^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\cdots\int_0^\pi \prod_{j=1}^{n-2} (\sin\theta_j)^{n-j-1}\,d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}\,d\theta_{n-1}$ $

Answer 2

Desde $\mathbb{R}^n=\{0\}\cup (0,\infty)\times S_r^{n-1}$, su elemento de volumen $dV$ puede ser escrito como el producto de $dr$ multiplicado por el elemento de volumen de la $n-1$ esfera de radio $r$. Por dimensiones de los terrenos, el último es igual a $r^{n-1}$ multiplicado por el elemento de volumen de la unidad de $(n-1)$-esfera. Por ejemplo, si $n=2$ ha $dV=r dr\wedge d\theta$, tenga en cuenta que la integral de $d\theta$$S^1$$2\pi$, es decir, el "volumen" de $S^1$; lo mismo para $n=2$, $dV=r^2 \sin\theta\, dr\wedge d\theta$ y $\int _{S^2} \sin\theta d\theta\wedge d\phi=4\pi$. Ya que su función es radial, puede factorizar la integral en una radial y una parte angular. La integral de la parte angular, que se denotan con $\omega_{n-1}$, es por lo tanto el volumen de la unidad $(n-1)$-esfera. Una buena forma de calcular el $\omega_{n-1}$ se presenta aquí http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/volume_11.pdf