¿Por qué es la escala de dimensión mayor que 1/2?
La razón es la (Kallen-Lehman) representación espectral. Vamos
$$G(s-s') = \langle0|\phi^\dagger(s)\phi(s')|0\rangle$$
Para cualquier campo $\phi$, y ampliar G de la transformada de Fourier en los estados de energía:
$$G(k) = \int ds {\rho(s)\over k^2-s + i\epsilon}$$
En otras palabras, G es una superposición de propagadores de la masa-cuadrado s con coeficiente de $\rho(s)$. a continuación,$\rho(s)>0$, debido a que es una positiva definida norma del estado que es la transformada de Fourier del campo $\phi$ que actúa sobre el vacío.
Si $\rho(s)$ es una función delta en cero, el campo tiene una masa de campo libre propagador de (Euclidiana) 1/r, y esta difuminación es como el cuadrado de la dimensión del campo, de modo que el campo es de dimensiones 1/2, la canónica de campo libre de la dimensión. Si desea otra dimensión para el campo, usted tiene que sumar campo libre propagadores con coeficientes positivos. Con el fin de obtener una escala de libre distribución, como se requiere en una de conformación de la teoría, usted debe utilizar una ley de potencia de superposición: $\rho(s) = s^{-\alpha}$, y por razones físicas $\alpha>0$, de lo contrario el $\rho$ está creciendo a grandes k. Un crecimiento de la densidad de estados en grande k significa que la teoría tiene un número infinito de diferentes especies en las distancias cortas.
Por lo que la disminución del k es (análisis dimensional) ${1\over k^{2- 2\alpha}}$, lo que significa que la disminución en x es (de nuevo por el análisis dimensional) ${1\over x^{1+2\alpha}}$, lo que significa que la escala de la dimensión es ${1\over 2}+\alpha$.
Se puede entender intuitivamente por saber que el libre propagadores caen como $1\over k^2$ y más rápido decaimiento requiere cancelaciones, que están prohibidas en una teoría cuántica de campos por la positividad.
¿Por qué la escala de la dimensión 1/2 implica libre
la razón es que en una de conformación de la teoría, no hay ninguna escala para $\rho$, por lo que no se puede tener cualquier forma distinta a una ley de potencia. Así que si la escala de la dimensión es exactamente 1/2, $\rho$ sólo puede ser una función delta en 0, y el operador tiene un propagador de la masa. Si se tratara de la interacción, tendría un valor distinto de cero elementos de la matriz con n-partícula de los estados que permita dar una respuesta positiva a $\rho$ algún lugar lejos de cero.
Cuando se permitía a las transiciones de fase?
Creo que el criterio que se usa aquí para permitir que las transiciones de fase es que se puede deformar la teoría con un operador de dimensiones inferiores o iguales a 3, lo cual hace que los campos de obtener un VEV. También se interrumpe la invariancia conforme.
Creo que los operadores que están siendo considerados aquí se $tr(\bar{\phi}^2) + tr(\phi^2)$$|tr(\phi^2)|^2$. La dilatación de los generadores son los cuadrados de la supersimetría, generadores, por lo que su escala de transformación de las propiedades se determinan a partir de la R de carga para ir de 2 a 1 / 2 y de 4 a 1. Así que en algún punto, el $|tr(\phi^2)|$ plazo se va a través de dimensión 3 y al más grande de los acoplamientos de este usted estable puede deformar la acción para obtener una transición de fase mediante la adición de los dos términos y dando el seguimiento de $\phi^2$ un VEV.
No estoy seguro acerca de esto, porque no estoy seguro de si la transición de fase, está fuera de la conformación punto. Más de contexto, como diciendo: ¿qué teoría que tiene en mente, sería de gran ayuda.
