Secuencia con denominadores de productos de números consecutivos de Fibonacci

Question

Estoy tratando de encontrar una manera de resolver el valor de esto:$$\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 5}-\frac{1}{5\times 8}+\frac{1}{8\times 13}-\dots$ $

Lo único que puedo imaginar es una suma que implica la fórmula de término$nth$ fibonacci que usa$\phi$. ¿Alguna otra idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que$$\frac1{F_n}-\frac1{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}-F_n}{F_nF_{n+1}}=\frac{F_{n-1}}{F_nF_{n+1}}, $ $ then$$ \frac1{F_{n-1}F_n}-\frac1{F_nF_{n+1}}=\frac1{F_{n-1}F_{n+1}}$ $ y su suma se convierte en$$\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 8}+\frac1{8\cdot 21}+\ldots$ $ Jugando con las primeras sumas parciales,$\frac13,\frac 38, \frac8{21}$, parece la suma parcial hasta $\frac1{F_{n-1}F_{n+1}}$Igual a$\frac{F_{n-1}}{F_{n+1}}$. Demuestre por inducción que esto es inded el caso y concluye que el límite es$\phi^2$.

Answer 2

Puede hacerlo utilizando fracciones parciales.

Tenga en cuenta que: $$ \begin{align} \frac{1}{1 * 2} &= \frac{1}{1} + \frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2 * 3} &= \frac{-1}{2} + \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3 * 5} &= \frac{2}{3} + \frac{-3}{5} \\ \frac{1}{5 * 8} &= \frac{-3}{5} + \frac{5}{8} \\ \frac{1}{8 * 13} &= \frac{5}{8} + \frac{-8}{13} \end {align} $$ El patrón se puede formular para que esta identidad pueda probarse más adelante $$ \ frac {1} {f_i * f_ {i 1}} = (-1 ) ^ {I-1} \ frac {f_ {i-1}} {f_i} (-1) ^ i \ frac {f_i} {f_ {i 1}}. $$ Entonces las sumas parciales de la serie son equivalentes a $$ \begin{multline} \frac{1}{1} + \frac{-1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{-2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{-3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{-5}{8} + \frac{5}{8} + \frac{-8}{13} + \cdots + \frac{-f_i}{f_{i+1}} = \\ = 1 - \frac{f_i}{f_{i+1}} = \frac{f_{i+1}}{f_{i+1}} - \frac{f_i}{f_{i+1}} = \frac{f_{i-1}}{f_{i+1}} \end {multline} $$