Muestran que

Question

Mostrar que$$[\tan(8\pi/21)-\tan(2\pi/21)]^3\frac{\tan(10\pi/21)}{\tan(2\pi/21)}=4(23\sqrt7+35\sqrt3)$ $ Las raíces de$w=e^{2\pi\,i/21}$$w+w^4+w^{16}=\frac{1+\sqrt{21} }{4}+i\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4},w^2+w^8+w^{11}=\frac{1-\sqrt{21} }{4}+i\frac{\sqrt7+\sqrt3}{4},w^5+w^{17}+w^{20}=\frac{1+\sqrt{21} }{4}-i\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4},w^{10}+w^{13}+w^{19}=\frac{1-\sqrt{21} }{4}-i\frac{\sqrt7+\sqrt3}{4}$

Answer 1

Vamos a tratar de hacer algunos evidente simplificación. La mayor parte de lo que sigue está basado en la teoría de cyclotomic polinomios y extensiones.

Primero podemos ver que $w=e^{2\pi i/21}$ satisface la ecuación $$\Phi_{21}(w)=w^{12}-w^{11}+w^{9}-w^{8}+w^{6}-w^{4}+w^{3}-w+1=0\tag{1}$$ Let $a=w^{7},b=w^{3}$ then we know that $a$ is a 3rd root of unity and $b$ is a 7th root of unity. And we have clearly $$i\sqrt{3}=a-a^{2}=w^{7}-w^{14}\tag{2}$$ and from this answer we have $$i\sqrt{7}=b+b^{2}+b^{4}-b^{3}-b^{5}-b^{6}$$ ie $$i\sqrt{7}=w^{3}+w^{6}+w^{12}-w^{9}-w^{15}-w^{18}\tag{3}$$ Now using $(1)$ we can express the RHS of equations $(2),(3)$ as polynomials in $w$ of degree less than $12$ with integer coefficients. And therefore we have $$4(23\sqrt{7}+35\sqrt{3})=-iP(w)\tag{4}$$ where $P(w) $ is a polynomial of degree less than $12$ con coeficientes enteros.

La expresión en el lado izquierdo en la pregunta relacionada con la $\tan$ también puede ser escrito como $$i\left(\frac{w^{8}-1}{w^{8}+1}-\frac{w^{2}-1}{w^{2}+1}\right)^{3}\frac{(w^{10}-1)(w^{2}+1)}{(w^{10}+1)(w^{2}-1)}\tag{5}$$ and using $(1)$ we can write the above expression as $ci(w) $ where $Q(w) $ is a polynomial of degree less than $12$ with integer coefficients. The real computational challenge is to evaluate the polynomials $P, Q$ and show that $P+Q=0$. The calculations are doable by hand but time consuming. The calculation is simplified to some extent if we use the variables $$u=w+\frac{1}{w},v=w-\frac{1}{w}=w-w^{20}\tag{6}$$ and noting that we have $$u^{6}-u^{5}-6u^{4}+6u^{3}+8u^{2}-8u+1=0\tag{7}$$ Using these variables it is seen that we can express $(5)$ as $ivR(u) $ where $R$ is a polynomial of degree less than $6$. Thus evaluation of $Q$ as $vR(u) $ and it's identification as $-P$ essentially involves multiplication of $2$ polynomials in $w$ with $2$ and $11$ términos respectivamente. Esto todavía es laborioso por lo que puedo decir en este momento.

Answer 2

Si no te importa solución de fuerza bruta, aquí tienes uno. $$[\tan(8\pi/21)-\tan(2\pi/21)]^3\frac{\tan(10\pi/21)}{\tan(2\pi/21)}=i\Big(\frac{w^8-1}{w^8+1}-\frac{w^2-1}{w^2+1}\Big)^{3}\frac{(w^{10}-1)(w^2+1)}{(w^{10}+1)(w^2-1)}=iz$$ Donde $z$ será determinado.

$\mathbb{Q}(w)$ es un grado $12$ de extensión, por lo que simplemente se podría calcular el $z$$a_0+a_1w+a_2w^2+...+a_{11}w^{11}$, para algunas de las $a_1, ...a_{11}\in\mathbb{Q}$, a continuación, calcular el $1, z, ..., z^{12}$, y encontrar una relación lineal de ellos. Básicamente, este calcula el polinomio mínimo de a$z$$\mathbb{Q}$.

Usando Mathematica, tengo que $z$ tiene un mínimo de polinomio $$x^4+236096 x^2+200704$$, que puede resolverse de una ecuación cuadrática, obteniendo así $$iz=\pm \frac{112}{23\sqrt7+35\sqrt3}, \pm4 (23\sqrt7+35\sqrt3)$$ Para saber cual es la correcta, la primera nota que $iz$ es un número real positivo, a continuación, calcular el $iz$ a la precisión suficiente para mostrar $iz>1$, lo cual es suficiente, ya que $$\frac{112}{23\sqrt7+35\sqrt3}\approx 0.922, 4 (23\sqrt7+35\sqrt3)\approx 486$$