Como calcular $\int{\frac {x^2}{ ( x\cos x -\sin x ) ^2}}\,{\rm d}x$?

Question

Cuando quiero calcular $$\int{\frac {x^2}{ ( x\cos x -\sin x ) ^2}}\,{\rm d}x$ $ han probado con el software y obtener $$ {\frac {x\sin \left (x \right) + \cos \left (x \right)} {x\cos \left (x \right) - \sin \left (x \right)}} $$

Pero no puedo entrar a esta conclusión, ni usando integración por partes, utilizando identidades trigonométricas, ni multiplicar por su conjugado, incluso por sustitución trigonométrica racional. No sé qué más probar. ¿Me podría dar alguna sugerencia?

Answer 1

Podemos reescribir %#% $ #%

mediante IBP con $$\begin{align}\int \frac{x^2}{(\sin x - x\cos x)^2} \, \mathrm{d}x &= \int \frac{x\sin x(x\sin x + \cos x)}{(\sin x - x\cos x)^2} \, \mathrm{d}x - \int \frac{x\cos x}{\sin x - x\cos x} \, \mathrm{d}x \\ & = -\frac{x\sin x + \cos x}{\sin x - x\cos x} \color{green}{+} \int \frac{x\cos x}{\sin x- x\cos x} \, \mathrm{d}x \color{red}{-} \int \frac{x\cos x}{\sin x - x\cos x} \, \mathrm{d}x \\ & = -\frac{x\sin x + \cos x}{\sin x - x\cos x}\end{align}$ y $u = x\sin x + \cos x \implies u' = x\cos x$$$\mathrm{d}v = \frac{x\sin x}{(\sin x - x\cos x)^2} \implies v = -\frac{1}{\sin x -x\cos x}$f = \sin x - x\cos x \implies f' = x\sin x sub$.