¿Son subconjuntos densos casi nada, o casi todo?

Question

Subconjuntos densos de $[0,1]$ sé tienen Lebesgue medida $0$ $1$, pero, ¿es allí cualquier subconjunto denso, uniforme de $[0,1]$ % meausre $1/2$?

Lo que quiero decir con uniforme: un subconjunto $A$ $[0,1]$ es uniforme si $m(A\cap[a,b])=(b-a)m(A)$ $0\le a\le b\le 1$. $m$ es la medida de Lebesgue. El punto es no incluye ejemplos como $\big([0,0.5]\cap\Bbb Q\big) \cup \big([0.5,1]\cap \Bbb I\big)$.

Answer 1

Otra vuelta de tuerca de la respuesta es: subconjuntos uniforme $A$ son casi nada, o casi todo. implica la $m(A\cap(a,b))=(b-a)\,m(A)=m(A)\,m((a,b))$ $m(A\cap B)=m(A)\,m(B)$ para cada conjunto medible $B$, debido al mismo $\sigma$-aditividad y la regularidad de la medida. Ahora con $B=A$, obtenemos significado $m(A)=m(A)^2$, $m(A)=0$o $m(A)=1$.

Answer 2

No hay sin duda ningún ejemplo mensurable: si $E$ es mensurable y de medida positiva y $0<\epsilon<1$, entonces hay un intervalo abierto $I$ tal que $m(E\cap I)\ge\epsilon m(I)$ (esta es una aplicación de regularidad, ver esta pregunta). Ahora toma $\epsilon>{1\over 2}$.