Demostrar que $x^3-x^2+8=y^2$ no tiene solución entera

Question

Demostrar que $x^3-x^2+8=y^2$ no tiene solución entera.

Me he pasado varias horas con este problema pero no he conseguido resolverlo. Una pista del profesor fue encontrar un campo propio donde encontrar las soluciones, o utilizar enteros gaussianos, pero sigo sin encontrar la prueba. Sólo he demostrado que $y$ debe ser par, y traté de factorizar $(x^3+8)$ e igualar los dos miembros con $x^2+y^2$ pero no se ha conseguido nada.

Este problema se dio en el Competencia Interuniversitaria Matemática Argentina (CIMA).

Answer 1

La factorización en el comentario de Amin235 es la clave. Si $x$ es impar, entonces el término $x^2-2x+4$ es siempre $-1$ modulo $4$ (y por tanto tiene un divisor primo con la misma propiedad, que debe dividir a $x^2+y^2$ una contradicción). Si $x$ es par, entonces es necesariamente $2$ modulo $4$ (ya que de lo contrario $y^2$ es divisible por $8$ pero no por $16$ ), por lo que lo mismo ocurre con $y$ . De ello se desprende que $x^2+y^2$ es $8$ modulo $16$ , mientras que $(x+2)(x^2-2x+4)$ es $0$ modulo $16$ .

Answer 2

Aquí hay una solución oficial: https://drive.google.com/file/d/1qOPYHK3p_S8tlwlewQ91X6JbDrZ-oKrc/view . A continuación, una versión en inglés (traducción no literal, también poco reordenada):

Si $x$ es incluso, digamos $x=2a$ tenemos $y^2=x^3-x^2+8=8a^3-4a^2+8$ , lo que implica $2 \mid y^2$ y así $2 \mid y$ . Sea $y=2b$ , dando $8a^3-4a^2+8=4b^2$ y tras la simplificación $2a^3-a^2+2=b^2$ . Ahora bien, si $a$ es par, entonces tenemos $b^2 \equiv 2 \pmod 4$ y si $a$ es impar, entonces $b^2 \equiv 3 \pmod 4$ de cualquier manera es imposible.

Si $x \equiv 3 \pmod{4}$ , luego el lado izquierdo $x^3-x^2-8\equiv 2 \pmod{4}$ . Esto implica $y^2 \equiv 2 \pmod {4}$ imposible.

Para el caso final $x \equiv 1 \pmod {4}$ Considera que $$(x+2)(x^2-2x+4)=x^2+y^2.$$ Ya que tenemos $x+2 \equiv 3 \pmod 4$ debe haber primos $p \equiv 3 \pmod {4}$ tal que $p \mid x+2$ . De la ecuación anterior $p \mid x^2+y^2$ o $x^2 \equiv -y^2 \pmod {p}$ . Así que $p \mid x$ si $p \mid y$ . También tenemos $$ x^{p-1} \equiv (x^2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-y^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}y^{p-1} \pmod{p}. $$ Ahora claramente $p \nmid x$ (de lo contrario tendríamos $p=2$ , una contradicción). Así que tenemos $p\nmid x, p \nmid y$ . A partir del Pequeño Teorema de Fermat tenemos $x^{p-1}\equiv y^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ , por lo que a partir de la ecuación anterior $(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod{p}$ . Esto implica $x\equiv 3 \pmod{p}$ una contradicción.

Por lo tanto, no hay una solución entera para la ecuación.