¿Cuántas parábolas se pueden formar a partir de 3 puntos? (Si permitimos la rotación)

Question

Si permitimos que la parábola estándar rote, se dilate y se mueva libremente a través de un plano euclidiano, entonces podemos definir al menos una parábola a partir de cualquier 3 puntos distintos que no estén alineados en una línea recta.

¿Es esta parábola única? Si no lo es, ¿cuántas parábolas diferentes se pueden formar a partir de 3 puntos distintos?

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Mi intuición me dice 3, pero no veo una forma obvia de demostrar esto (si es correcto, eso es).

Un rápido esbozo de lo que quiero decir (disculpen la poca precisión en el dibujo)

Aquí tenemos 3 parábolas que se forman a partir de los mismos 3 puntos distintos.

Answer 1

Hay infinitos.

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Dados tres puntos no colineales, puedes definir de manera única una parábola de la forma $y = a(x+b)^2+ c$ que pase por los tres puntos. Ahora, en lugar de rotar la "parábola", piensa en términos de rotar el plano.

Define los nuevos ejes $y'$ y $x'$, de manera que ambos hayan sido rotados por algún $\theta$ a partir de $x$ y $y$. Entonces tus tres puntos todavía no son colineales, y puedes encontrar una parábola $y'=a'(x'+b')^2+c'$ que pase por los puntos. Esta parábola está "apuntando en la dirección de $y'$" (no estoy seguro de cuál es la terminología, pero me refiero a que una recta tangente al vértice de la parábola es paralela al eje $x'$). Pero entonces $y$ y $y'$ están en direcciones diferentes (desplazadas por $\theta$) por lo que las parábolas deben ser distintas.

Puedes hacer esto para todos menos tres valores de $\theta$, por lo que hay infinitas opciones de $\theta, y por lo tanto, infinitas parábolas. (Revisa los comentarios debajo de mi respuesta para ver por qué tres valores de $\theta$ no funcionan.)

Answer 2

Una cónica general se define por cinco parámetros independientes y puede pasar por cinco puntos arbitrarios.

Al restringirse a una parábola, se establece una restricción en los coeficientes (el discriminante de los términos de segundo grado debe ser cero), lo que "consume" un grado de libertad.

Pero quedan cuatro, y tienes un infinito de parábolas a partir de los tres puntos dados y una cuarta libre.

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Una pregunta más difícil es cuando la forma de la parábola está fija, es decir, solo puedes trasladarla y rotarla. Entonces solo tiene tres grados de libertad y el número de soluciones debe ser finito. En el caso de los vértices de un triángulo equilátero, puede haber al menos seis de ellos, por simetría, como muestra la figura.

En el caso general, supongamos que la parábola tiene la ecuación $x=ay^2$, donde $a$ está fijo. Luego, al integrar la transformación rígida, necesitamos resolver el sistema

$$\begin{cases} x_0\cos\theta-y_0\sin\theta+t_x=a(x_0\sin\theta+y_0\cos\theta+t_y)^2\\ x_1\cos\theta-y_1\sin\theta+t_x=a(x_1\sin\theta+y_1\cos\theta+t_y)^2\\ x_2\cos\theta-y_2\sin\theta+t_x=a(x_2\sin\theta+y_2\cos\theta+t_y)^2\\ \end{cases}$$

para $\theta, t_x$ y $t_y$.

Al restar, podemos eliminar $t_x$ y obtenemos dos ecuaciones lineales en $t_y$. $$\begin{cases} x_{01}\cos\theta-y_{01}\sin\theta=a(x_{01}\sin\theta+y_{01}\cos\theta)(x'_{01}\sin\theta+y_{01}\cos\theta+2t_y)\\ x_{02}\cos\theta-y_{02}\sin\theta=a(x_{02}\sin\theta+y_{02}\cos\theta)(x'_{02}\sin\theta+y'_{02}\cos\theta+2t_y)\\ \end{cases}$$

Luego, al eliminar $t_y$, obtenemos una ecuación polinómica cúbica en $\cos\theta$ y $\sin\theta$. Podemos racionalizarla con la transformación

$$\cos\theta=\frac{t^2-1}{t^2+1},\sin\theta=\frac{2t}{t^2+1}.$$

Esto convierte la ecuación trigonométrica en una cúbica, teniendo hasta seis soluciones reales.

La discusión detallada sobre el número de raíces reales parece ser ardua. Dado que el radio mínimo de curvatura es $2a$, cuando el círculo circunscrito del triángulo es menor que este valor, no hay solución.

Answer 3

Tres puntos determinan un círculo de la manera que desees ubicarlos

Cuatro puntos determinan dos parábolas únicas (como mencionó ccorn) de la manera que desees ubicarlos, sujeto a convexidad y otras condiciones para evitar la degeneración también como él mencionó. Hay un conjunto doblemente infinito, un nuevo boceto aproximado indica ambos.

Cinco puntos determinan una cónica de la manera que desees ubicarlos.

Hay infinitas parábolas que pasan por 3 puntos dados.

Se puede ver que una ecuación de la parábola (excentricidad $ \,e\,= 0$) se puede expresar desde la definición de cónicas estándar como

$$ y = C_1x + C_2 \pm \sqrt {C_3x + C_4} \tag1 $$

De cuatro constantes arbitrarias si se dan tres puntos, entonces tienes un conjunto singularmente infinito de parábolas a través de ellos como se muestra, 3 puntos $(A,B,C) $ están fijados y un cuarto punto coincidente/doble elegido cuidadosamente de Geogebra para formar una parábola.

Entonces, a partir de lo anterior, si eliges un arco parabólico rígido entre ellos, entonces hay una manera única de encajarlo nuevamente después de quitarlo de los 3 puntos dados para volver a ensamblarlo.

Cuando el cuarto punto es arrastrado/movido un poco a la derecha a lo largo de la normal forma una elipse y cuando se mueve hacia la izquierda, una hipérbola. A lo largo de la parábola cualquier movimiento no la cambia, demostrando que la curva dibujada es de hecho una parábola.. situándose en su lugar legítimo entre la elipse y la hipérbola. Aquí se muestran tres para cada conjunto pero hay infinitas para cada uno.

Answer 4

Una parábola es una cónica con un punto doble en el infinito. Para cada punto en la línea en el infinito que no sea uno de los tres puntos correspondientes a las tres líneas determinadas por los tres puntos dados, hay una única parábola a través de los tres puntos dados que no está en una línea, por lo que hay un continuo de ellas.