Fracaso de la escisión por $\pi_2$

Question

¿Alguien conoce un ejemplo de fallo de escisión para grupos de 2ª homotopía? En concreto, estoy buscando $A,B$ abrir en $X$ tal que $X=A\cup B$ y $A\cap B$ está conectado y $\pi_2(X,A)\ne \pi_2(B,A\cap B).$

Ejemplos análogos para $n$ -grupos de homotopía para $n\geq 3$ se puede encontrar en Ejemplos de fracaso de la escisión para grupos de homotopía ( $\pi_k(X, A)$ no es $\pi_k(X/A, *)$ )

Answer 1

Considere la tríada excisiva $(\Sigma X; CX,CX)$ inducido por la descomposición de la suspensión reducida del espacio $X$ como dos conos reducidos de $X$ adjunta a lo largo de $X$ . Observe que $CX\cap CX\cong X$ . Ahora las secuencias largas exactas de los pares $(\Sigma X, CX)$ y $(CX, X)$ dan los isomorfismos $\pi_2(\Sigma X, CX)\cong \pi_2(\Sigma X)$ y $\pi_2(CX,X)\cong \pi_1(X)$ ya que el cono reducido $CX$ es siempre contraíble.

Por lo tanto, sólo tenemos que proporcionar un ejemplo de fracaso del isomorfismo : $\pi_2(\Sigma X)\cong\pi_1(X)$ . Sólo se pueden dar varios ejemplos observando que en general $\pi_1(X)$ no es abeliano mientras que $\pi_2(\Sigma X)$ es siempre abeliana.

Por lo tanto, cualquier espacio basado en un grupo fundamental no abeliano le da un ejemplo. El primero que me viene a la mente es : $S^1\vee S^1$ .

Answer 2

Afortunadamente, y cubriendo los puntos ya expuestos, existe una respuesta bastante completa para la determinación del mapa de escisión

$$\varepsilon_2 : \pi_2(B,C) \to \pi_2(X,A)$$ cuando $X=A \cup B, C = A \cap B$ donde el punto base se encuentra en $C$ y algunas otras condiciones, como $A,B$ son abiertos; también necesitamos condiciones de conectividad. Decimos $(B,C)$ es conectado si $B,C$ son caminos conectados y el morfismo $\pi_1(C) \to \pi_1(B)$ es suryente. Bajo todas estas condiciones, el resultado de la escisión es que $(X,A)$ es conectado, y que el morfismo $\varepsilon_2$ está totalmente determinada por el morfismo $\lambda: \pi_1(C) \to \pi_1(A)$ inducido por la inclusión $C \to A$ .

Para dar más detalles, hay que reconocer, con Henry Whitehead, 1946, que el mapa de límites $\delta: \pi_2(X,A) \to \pi_1(A)$ tiene la estructura de módulo cruzado.

Un morfismo $\mu: M \to P $ de grupos se llama módulo cruzado si se da una acción del grupo $P$ en el grupo $M$ , escrito $(m,p) \mapsto m^p$ , de tal manera que las dos reglas siguientes son válidas para todo $p \in P, m,n \in M$ :

CM $1$ ) $\delta(m^p)= p^{-1}mp$ ;

CM $2$ ) $n^{-1}mn= m^{\mu n}$ .

La segunda regla es crucial por ejemplo, a las aplicaciones homotópicas.

Supongamos que $\mu : M \to P$ es un módulo cruzado y $\lambda: P \to Q$ es un morfismo de grupos. Entonces podemos construir un nuevo módulo cruzado $\delta: \lambda_* M \to Q$ llamado módulo cruzado inducido de $\mu: M \to P$ por $\lambda $ que viene con un morfismo de módulo cruzado $\lambda': M \to \lambda_*M \;$ y que con $\lambda $ satisface una bonita propiedad universal para los morfismos de los módulos cruzados.

Entonces tenemos:

Escisión homotópica en la dimensión $2$ : En las condiciones mencionadas al principio de esta cuenta, $$\pi_2(X,A) \cong \lambda_* \pi_2(B,C).$$

Un punto importante es que este resultado es sobre estructuras no abelianas y por lo tanto no es aparentemente deducible de las herramientas homológicas estándar.

El primer artículo que se publicó fue una exposición de los antecedentes, que puede consultarse en aquí en la revista HHA, pero la primera declaración y la prueba estaban en

R. Brown y P.J. Higgins, "On the connection between the second grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados", Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193-212.

que lo deduce de una forma mucho más general $2$ -El teorema de tipo van Kampen se ha establecido y demostrado allí. Un relato completo se encuentra también en el nuevo libro sobre Topología Algebraica Noabeliana (EMS Tract Vol 15, 2011) anunciado. aquí . Este resultado de escisión es el teorema 5.4.1.

Esto conduce a ideas para calcular módulos cruzados inducidos en situaciones homotópicas relevantes. Véase, por ejemplo

R. Brown y C.D. Wensley, "Computation and homotopical applications de módulos cruzados inducidos", J. Computación simbólica 35 (2003) 59-72.

que ofrece algunos cálculos basados en el ordenador.

La filosofía básica es que un $2$ -d van Kampen Theorem permite el cálculo de algunas homotopías $2$ -y, a partir de ahí, el cálculo de algunos segundos grupos de homotopía, que, al fin y al cabo, no son más que una pálida sombra del $2$ -tipo.

Adición 30 Dic: La propiedad universal del módulo cruzado inducido se puede enunciar como que el siguiente diagrama de morfismos de módulos cruzados

$$ \begin{matrix} 1\to P & \to & 1 \to Q \\ \downarrow & & \downarrow \\ M \to P & \to & \lambda_* M \to Q \end{matrix} $$

es un empuje de módulos cruzados. Esto debería dejar clara la conexión con un teorema de tipo van Kampen, que trata de forma más general de los pushouts de módulos cruzados que implican a los segundos grupos de homotopía relativa. Este resultado de la escisión también implica el sutil teorema de Whitehead (en Combinatorial Homotopy II, 1949) de que $\pi_2(A \cup_{f_i} \{e^2_i\}, A,a) \to \pi_1(A,a)$ es para los conectados $A$ el módulo cruzado gratuito en los mapas característicos $f_i$ de la $2$ -y el resultado dado por mph en $\pi_2(\Sigma X)$ pero sin utilizar la información homológica.

Edición 05/01/14: En particular, si $Q=1$ entonces $\lambda_* M$ es $M$ factorizado por la acción de $P$ . Esto implica el Teorema Relativo de Hurewicz en dimensión $2$ .

Edit Dec 31: Otro aspecto interesante de este resultado es que el fracaso de la escisión suele estar relacionado con el trabajo de Blakers y Massey sobre grupos de homotopía de tríadas, que da una secuencia exacta

$$\to \pi_3(X,A) \to \pi_3(X;A,B) \to \pi_2(B,C) \to \pi_2(X,A) \to \pi_2(X;A,B) \to . $$

Pero no me queda claro cómo esta secuencia puede producir el Teorema de la Escisión anterior, y los resultados de Blakers y Massey sobre la determinación del primer grupo de tríadas no evanescentes no tratan el caso no simplemente conectado.

Edición: 7 de enero de 2014: Debo añadir que en el documento R. Brown y J.-L.Loday, "Excision homotopique en basse dimension'', C.R. Acad. Sci. París S\'er. I 298 (1984) 353-356, y disponible aquí anunciamos bajo las condiciones anteriores una secuencia exacta

$$\pi_3(B,C)\to \pi_3(X,A) \to \pi_2(A,C) \otimes \pi_2(B,C) \to \pi_2(B,C) \to \pi_2(X,A) $$ donde $\otimes$ denota un "producto tensorial no abeliano" de dos grupos que actúan entre sí, básicamente a través de una determinación de $\pi_3(X;A,B)$ por un teorema de tipo van Kampen.