¿Puede el asimiento de $AB-BA=I$ si ambos $A$ y $B$ son los operadores en un espacio infinitamente dimensional del vector $\mathbb C$?

Question

Por supuesto, no puede hacer si los operadores son en espacios finito-dimensionales, como es evidente a partir de consideraciones de rastro. ¿Puede ser verdad para espacios Infinito-dimensionales? Creo que no, pero no veo cómo podemos discutir en este caso.

Answer 1

Sí, incluso es un ejemplo típico. Si $V$ es el espacio de todos polinomios en $\mathbb C$, y define $D,x:V\to V$: $$(Df)(x)=\frac{df}{dx}\\(xf)(x)=xf(x).$$ Then $Dx-xD=I$. You could also take $V$ to be all meromorphic functions over $\mathbb C$, or the space of power series over $\mathbb C$.

Dichos pares de operadores son realmente la explicación subyacente para el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Answer 2

Que $V = \mathbb{K}[x]$ ser el espacio de polinomios en una variable con coeficientes de su tierra campo $\mathbb{K}$ y considerar el % de dos operadores $\frac{d}{dx}$(diferenciación formal de polinomios) y $x$ (multiplicación de polinomios por $x$).

Answer 3

Las relaciones de conmutación canónicas para los operadores de posición e ímpetu en mecánicos del quántum es $$[\hat x,\hat p]=i \hbar. aquí el espacio del vector es el espacio de Hilbert sobre $\mathbb C$.