¿Cómo puedo demostrar que $ \sin x, \cos x$ realmente están en $ [-1,1]$ utilizando la noción de serie?

Question

Siento hacer esta pregunta, pero debería hacerla puede ayudarme a saber más

sobre la teoría de las series, es bien sabido que $\cos x $ y $\sin x$ son

representado por series alternativas que me resulta difícil mostrar si sinx y

cosx están en este rango $[-1,1]$ .

Mi pregunta es :¿Existen pruebas analíticas que demuestren que $\sin x$ y $\cos x$ ambos están realmente en $[-1,1]$ utilizando la teoría de las series si es posible

Nota : No quiero usar la interpretación geométrica porque es estándar en absoluto

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

A partir de la serie es fácil demostrar que (utilizando el hecho de que las series de potencias se pueden diferenciar término a término dentro del disco de convergencia) $$\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$ $$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$$ Si definimos $$F(x) := \cos^2(x) + \sin^2(x)$$ entonces $F(0) = 1$ y $$\frac{d}{dx}F(x) = 2\sin(x)\cos(x) - 2\cos(x)\sin(x)= 0\ \ \forall x\in \mathbb R$$ por lo que $F$ es constante $$F(x) = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \ \ \forall x\in \mathbb R$$ De esto se desprende que $$|\cos(x)|\leq 1 \ \ \forall x\in \mathbb R$$ $$|\sin(x)|\leq 1 \ \ \forall x\in \mathbb R$$

Answer 2

Utilizando las series, se puede demostrar (definiendo $\exp$ , $\sin$ y $\cos$ como serie) que

$$\forall x\in\Bbb C,e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

$$\forall x \in \Bbb R, |e^{ix}|=1$$

Y a partir de ahí, es fácil ver que

$$|\sin x|\le |e^{ix}|=1$$

$$|\cos x|\le |e^{ix}|=1$$