Puntos críticos en un paquete de la fibra

Question

Considere la posibilidad de una (suave) de paquete E→_B_, y un (suave) de la función f: E → R en el espacio total. Entonces tiene sentido hablar de las derivadas de f a lo largo de las fibras. Deje que C sea el subespacio de E que consta de todos los puntos para que todos los de fibra sabio derivados de f se desvanecen, por lo que en la intersección con la fibra C consta de los puntos críticos de la restricción de f a la fibra. Si la fibra es n-dimensional, entonces C es tallado por n ecuaciones, y así genéricamente ha codimension n en E.

Supongamos que c es un punto en C , de modo que la derivada segunda de f en la fibra es nondenegerate (es decir, tiene no degenerada de Hesse; es decir, f limita a una función de Morse en la fibra a través de c). De lo anterior se sigue que la proyección de C→_B_ es un local diffeomorphism cerca de c?

La respuesta es sí, cuando todo es finito-dimensional (y creo que la declaración es iff). Estoy interesado en el caso de que B es finito-dimensional, pero las fibras de Correo son de dimensiones infinitas.

Edit: Esta es una respuesta a Andrés pregunta a continuación (a partir de la respuesta en los comentarios resulta difícil).

Estoy usando la palabra "Morse" de manera imprecisa, en gran parte porque yo en realidad no saben de la teoría de Morse. Yo diría que la definición que puedo dar es mejor que lo que se utiliza tradicionalmente. Lo que realmente me refiero es este:

Vamos a M ser un suave colector y f:M→R una suave mapa. ¿Qué tipo de objeto es la segunda derivada de f⁽²⁾? En general, usted no debe hablar por sí mismo, porque no se transforma como un tensor, aunque el par (f⁽¹⁾,f⁽²⁾) es un vector en el 2-jet paquete de más de M. Pero si c es un punto crítico de f, entonces f⁽²⁾(c) es, naturalmente, un bilineal simétrica forma de T_cM x T_cM → R. Por lo tanto es un mapa T_cM→T^*_cM. Todo lo que pido es que este mapa tiene cero kernel.

Pero si este estado es demasiado débil, mientras que un razonable más fuerte condición trabajos, me encantaría escucharlo.

Answer 1

La parte todavía estoy indeciso respecto es que el colector de llamar C es n-dimensional. Codimension argumentos en el infinito ajuste dimensional son siempre un poco pegajosa. Así que, voy a tratar como una suposición.

Entonces la respuesta a tu pregunta es sí, y no depende de qué tipo de infinitas dimensiones espacios vectoriales se utilizan como su modelo local. Vamos a ver por qué.

Primero usted tiene un espacio E, que es un haz de fibras de más de B, a través de la proyección de p. Entonces, en cualquier punto x en E tenemos la secuencia de espacios vectoriales,

T_xF = ker dp --> T_x E \begin{align*} \log_{10^4} 1987 \leq \{n \log_{10^4} 2\} < \log_{10^4} 1988. \end> T_p(x)B

Usted también tiene un mapa f: E - > R, y por lo tanto un mapa de df: T_xE --> R = T_f(x)R para todos los puntos x en E.

C se define como los puntos en E tal que la restricción de df a T_xF se desvanece. Por supuesto, C es un n-dimensional colector.

Ahora vamos a hablar de las segundas derivadas. Hay dos problemas con las segundas derivadas. La primera aristas, porque estamos trabajando en el infinito ajuste dimensional. Esto significa que podríamos no ser capaces de pensar de la segunda derivada como una forma bilineal, debido a posibles problemas de convergencia. Sin embargo, como usted ha señalado, podemos pensar en ella como un mapa,

T_xE --> T_xE^*

Ahora, dependiendo del tipo de infinitas dimensiones del colector de que usted está considerando, este espacio dual puede asumir diferentes significados (de banach duales, Frechet doble, etc). Al menos obtener algo en el dual algebraico (de la posible falta de continuo funcionales).

El segundo problema con el segundo de los derivados es que normalmente no están definidos independientes de la elección de coordenadas. De nuevo, como usted ha señalado, el par (df, segundo der de f) se transforma como una sección de la segunda jet paquete, es decir, la segunda derivada no cambia como un tensor, pero en una afín a la moda dependiendo del df.

Esto significa que, en general, no hay ninguna manera intrínseca a decir la derivada segunda es "no-degenerado" en un punto aleatorio de E. sin Embargo, a lo largo de C, una porción de la segunda derivada es aún bien definido, independientemente de coordinar opciones. No es toda la segunda derivada, pero sólo el compuesto,

H: T_cE --> T_cE* --> T_cF^*

(Aquí "H" es para Hesse o algo parecido). Bajo cambios de coordenadas, H transforma como un tensor porque, a lo largo de C, la restricción de df a T_cF se desvanece.

Aquí es el hecho clave: El espacio de la tangente de C es el núcleo de H. Este es un sencillo cálculo, lo que se puede hacer en coordenadas locales.

Por último, debemos examinar los puntos de C y se supone que vamos a considerar la restricción de H a T_cF. queremos considerar un punto c en C, donde el núcleo de esta restricción es cero.

Pero esta condición es equivalente a decir que la intersección de T_cF con el núcleo de H es cero, es decir,

(**) En el punto c, T_cF tiene cero intersección con T_cC.

Ahora ya T_cF es el núcleo de la dp, esto significa que la restricción de la dp a T_cC también tiene cero núcleo, y por lo tanto de la dimensión razones es un isomorfismo. Por lo tanto, en el punto c en C, en sus supuestos, el mapa f: C - > B es un local diffeomorphism.

Answer 2

La integridad, que debo publicar un seguimiento a Chris de la respuesta anterior. Chris argumento muestra que el mapa dp: T_cC → T_p(c)B es una inyección, donde p es (la restricción) de la proyección E → B. Pero las condiciones que originalmente propuesto no la fuerza para ser un surjection excepto en lo finito-dimensional caso (cuando una (co)dimensión recuento muestra que dim C es, al menos, dim B), como muestra el siguiente ejemplo.

Vamos a N de ser un compacto conectado el colector, B = N x N, E = Suave Mapas ( [0,1] → N ), y la proyección es π(e) = (e(0),e(1)). Elija una función de L : TN → R, y definir f : E → R por f(_e_) = ∫_[0,1]L(_e_'(t),e(t)) dt. Entonces el conjunto C se compone de soluciones a la de Euler-Lagrange las ecuaciones d_t[\partial_vL] = \partial_qL. De forma genérica, esto es un no-degenerada de segundo orden de la ecuación diferencial, y, entonces dim C = 2 dim N = dim B. De hecho, esta es la aplicación que estoy interesado.

Por otro lado, vamos a elegir una sola forma b, y una función de c en N, y supongamos que el exterior derivado d_b_ es no degenerado, por lo que d_b_ es una estructura simpléctica en N. Deje que L(v,q) = _b_v + c. Entonces uno puede comprobar (es sencillo) que el de Euler-Lagrange las ecuaciones son no degenerados de primer orden de la ecuación diferencial de N, equivalente a la ecuación de Hamilton para la sympectic colector (N,d_b_) con Hamiltonianos c (o tal vez -c dependiendo de sus convenciones). Así que una solución está determinada por su ubicación inicial, y, entonces dim C = dim N.

Por otro lado, la Hessiana H definida en Chris la respuesta es ahora una degenerada de primer orden lineal de la ecuación diferencial y la condición dice que la única solución φ a esta ecuación con φ(0) = 0 = φ(1) es la solución trivial φ = 0. Para un general de Lagrange, el de Hesse es un de segundo orden del operador, y esta condición es trivial, pero cuando el Lagrangiano es de primer orden, el de Hesse necesariamente no tiene kernel de una solución está determinada por un único valor.

Por lo tanto la condición de que Chris pensó que yo era imponente — que C sea un colector con la dimensión de la misma como B — no se puede quitar.

Una observación final es que en dimensiones finitas, C se corta por la dim F = dim E - dim B ecuaciones, y, entonces dim C es, al menos, dim B. El punto es que esta dimensión contar falla cuando dim F = ∞.