Convergencia condicional, teorema de Mertens

Question

Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ ambos convergen y uno de ellos absolutamente entonces el producto Cauchy $\sum c_n$ converge a $\sum a_n \sum b_n$ . ( $c_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n - k}$ ), por el Teorema de Mertens.

Ahora bien, si ambos convergen condicionalmente entonces el producto no tiene que converger como $a_n = b_n = (-1)^n/n$ espectáculos. Mi pregunta ahora es: ¿Qué pasa si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ ambos convergen condicionalmente y $\sum c_n$ converge, entonces es siempre cierto que $\sum c_n$ converge al producto?

Por cierto, esto no son deberes, ya he pasado la parte del análisis real.

Answer 1

Esto se deduce fácilmente del teorema de convergencia de Abel: si $\sum_0^\infty a_n$ converge entonces $$\sum_0^\infty a_n=\lim_{x\to1^-}\sum_0^\infty a_n x^n.$$