Combinatoria - mostrar que $2^n = 1987 \dots $

Question

Tentativa:

La secuencia $2^k$ $(k = 1, 2, . . .)$ es infinito, mientras que el conjunto de clases residuales módulo $1000$ es finito, por lo que hay dos enteros diferentes $n < m$, que $2^n ≡ 2^m \pmod {1000}$.

Answer 1

Esto ciertamente no es la solución prevista si esto era originalmente un problema de concurso, pero aquí es un argumento. Que $\{x\}$ denotan la parte fraccional de $x$. Son los dígitos $4$ $2^n$ $1987$ iff\begin{align*} \log_{10^4} 1987 \leq \{n \log_{10^4} 2\} < \log_{10^4} 1988. \end{align*} el mapa $x \to x + \log_{10^4} 2$ únicamente es ergódica en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, por lo que existe tal un $n$; de hecho, el conjunto de tal $n$ tiene densidad $\log_{10^4}(1988/1987)$.