Me ha dado la pregunta: dado $x,y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$x+y =\frac{m}{n}$, demuestran $x-y$ es irracional. Traté de resolver esto mediante una prueba por contradicción, pero me siento como que tengo un poco fuera de la base y me siento como me he cagado en algún lugar.
La prueba por Contradicción
$x,y \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$
$x + y = \frac{m}{n}$, $m,n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0 $
$y = \frac{m}{n} - x$
Suponga $x-y$ es racional$x-y = \frac{p}{q}$, $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$
$x - (\frac{m}{n} - x) = \frac{p}{q}$ con $y = \frac{m}{n} - x$
$2x - \frac{m}{n} = \frac{p}{q}$
$\frac{2xn-m}{n} = \frac{p}{q}$
$q(2xn-m) = pn$
$2xn-m = \frac{pn}{q}$
$2xn = \frac{pn}{q} + m$
$x = \frac{(\frac{pn}{q} + m)}{2n}$$\therefore$ La contradicción como $x$ es irracional
Aquí está mi trabajo. He hecho errores y está bien asumir que, dado que todas las variables en la final de la fracción de números enteros que es racional?
