El truco aquí, creo yo, es que la transformación de coordenadas en sí debe ser periódico. Si esto se permite, entonces la afirmación es correcta, a saber:
Supongamos que
$\dot x = A(t)x \tag{1}$
es dependiente del tiempo, el sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con $A(t)$ continua periódica de la matriz del período $T$:
$A(t + T) = A(t), \; \text{all} \; t \in \Bbb R, \tag{2}$
y $X(t)$ es una matriz fundamental de soluciones de (1); es decir, $X(t)$ $n \times n$ matriz de funciones de $x_{ij}(t)$ tal que
$\dot X(t) = A(t)X(t) \tag{3}$
y
$\det(X(t)) \ne 0 \tag{4}$
para todos los $t \in \Bbb R$. Es bien sabido que se $X(t)$ existen; de hecho, esta afirmación es un principio básico de la teoría lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias. Considere la posibilidad de $X(t + T)$; hemos
$\dot X(t + T) = A(t + T)X(t + T) = A(t)X(t + T) \tag{5}$
por la periodicidad de las $A(t)$; por lo tanto $X(t + T)$ también es una matriz fundamental de soluciones. Ahora vamos a $Y(t)$ $Z(t)$ ser cualquier matriz de dos soluciones de (3), con $\det (Y(t)) \ne 0$ todos los $t \in \Bbb R$, es decir, $Y(t)$ es una matriz fundamental de soluciones, a pesar de $Z(t)$ no necesita ser así. Entonces
$d(Y^{-1}Z) /dt = \dot Y^{-1}Z + Y^{-1} \dot Z, \tag{6}$
y si en (6), la conocida identidad
$d(Y^{-1}) / dt = -Y^{-1} \dot Y Y^{-1} \tag{7}$
(lo que fácilmente se deduce mediante la diferenciación de la ecuación de $Y^{-1}Y = I$) se implementa, obtenemos
$d(Y^{-1}Z) / dt = -Y^{-1} \dot Y Y^{-1} Z + Y^{-1} \dot Z, \tag{8}$
y a través de la suposición de que $\dot Y = AY$ $\dot Z = AZ$ (8) se convierte en
$d(Y^{-1}Z) / dt = -Y^{-1} A Y Y^{-1} Z + Y^{-1} A Z = -Y^{-1}AZ + Y^{-1}AZ = 0, \tag{9}$
lo que significa que hay una constante de matriz $C$ tal que
$Y^{-1}Z = C \tag{10}$
o
$Z = YC. \tag{11}$
Aplicando este resultado a $X(t), X(t + T)$ rendimientos
$X(t + T) = X(t)C; \tag{12}$
aquí $C$ debe ser nonsingular desde $X(t), X(t + T)$. El hecho de que $C$ es nonsingular implica que se tiene una matriz de logaritmo $BT$; es decir, existe un $n \times n$ matriz $B$ tal que
$C = e^{BT}. \tag{13}$
Configuración
$P(t) = X(t)e^{-Bt} \tag{14}$
vemos que $P(t)$ es periódica de período de $T$:
$P(t + T) = X(t + T)e^{-B(t + T)} = X(t)Ce^{-BT} e^{-Bt} = X(t)e^{-Bt} = P(t), \tag{15}$
donde hemos usado (12) y (13) en (15). La matriz $P(t)$ será utilizado para transformar las coordenadas, y la matriz de $B$ contendrá el nuevo, constante coeficientes de la transformada sistema. En efecto, la fijación
$y = P^{-1}(t)x \tag{16}$
así que
$x = P(t)y, \tag{17}$
vemos que
$A(t)P(t)y = A(t)x = \dot x = \dot P y + P \dot y, \tag{18}$
de dónde
$\dot y = P^{-1}(AP - \dot P)y, \tag{19}$
y a partir de (14) se deduce que
$\dot P = \dot X e^{-Bt} - Xe^{-Bt}B = AXe^{-Bt} - Xe^{-Bt}B = AP -PB; \tag{20}$
insertar (20) en (19) da
$\dot y = P^{-1}(PB)y = By, \tag{21}$
el prometido constante el coeficiente de la ecuación. Así se ha visto que un periodoc sistema puede ser convertido a uno con constante de los coeficientes a través de un periódico, aunque lineal, el cambio de variables.
El problema con esta transformación, desde un punto de vista práctico, es que tenemos que saber $X(t)$ encontrar $P(t)$$B$. Así, a pesar de ser capaces de generar ideas de gran interés, es de utilidad limitada para los fines de la realidad, la búsqueda de soluciones a (1), (3). El eiigenvalues de $C = e^{BT}$ son, por supuesto, la característica de los multiplicadores de (1); los de $B$ son su característica de los exponentes.
Creo que el anterior tratamiento, en su esencia, es en última instancia, atribuible a Floquet; sin embargo, el tratamiento que he presentado aquí muy de cerca sigue el de J. K. Hale de su libro, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, segunda edición (1980), en la sección III.7. Más detalles se pueden encontrar en el mismo. Tengo tanto amplificada y condensada Hale del tratamiento para el presente propósito; de hecho, lo que he escrito aquí puede en cierto modo ser considerado como una paráfrasis de Hale. La empresa $Y$, $Z$, $Y^{-1}Z$ y sus derivados es, sin embargo, la mina, aunque puede ser de casi infinitessimal consecuencia.
Si uno fuera a tratar y aplicar estas ideas para el sistema dado,
$y'' + (\sin x)y' + (\cos x)y, \tag{22}$
el primer paso sería establecer
$z = y', \tag{23}$
de modo que (22) puede ser escrita
$\begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix}' = A(x) \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix}, \tag{24}$
con
$A(x) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\cos x & -\sin x \end{bmatrix}; \tag{25}$
pero no hay manera sencilla de que puedo presentar aquí para atacar un problema y la búsqueda de $X(x)$, la solución fundamental, corto de integración numérica. Y no debo dejar el asunto, hasta que la Reina de las Ciencias, las Matemáticas, de las ofertas como la de Newton, Gauss, Riemann o de Poincaré a unirse a nosotros los simples mortales, una vez más!
Ahora que iba a ser un regalo de Navidad!
Y, por cierto, de diente de sierra funciones están bien aquí!
Espero que esto ayude. Vacaciones Bendiciones a Todos y cada Uno,
y como siempre, especialmente en estas Solsticio de noches,
Fiat Lux!!!
