Topología sobre el producto tensorial de dos espacios vectoriales topológicos -- ¿qué propiedades mantiene?

Question

Buenos días, esta es mi primera pregunta en esta web. Si tengo dos espacios vectoriales topológicos, digamos $A$ y $B$ Me gustaría saber

1)cómo la topología en $A\otimes B$ ¿se define canónicamente?

2)si las topologías en $A$ y $B$ son localmente convexos, también lo es la topología sobre $A\otimes B$ ?

Hago esta pregunta porque si tengo un grupo compacto de Lie $G$ y dos $G$ -módulos $A$ y $B$ Quiero que el "operador de promedio" se defina en $A$ , $B$ y también $A\otimes B$ . Encontré que la topología debe ser localmente convexa y 'débilmente completa' (como lo llama "La estructura de los grupos compactos" (Hofmann-Morris)), así que me gustaría saber si estas propiedades se mantienen en la topología tensorial.

Answer 1

Según la información disponible, no existe una topología "canónica" en $A \otimes B$ . En cambio, hay varios que tienen sentido.

Una buena fuente es

• Francois Treves: "Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos"

capítulo 43: "Las dos principales topologías de los productos tensoriales", donde el autor define el $\epsilon$ y el $\pi$ topologías.

El $\pi$ -es la topología más fuerte localmente convexa tal que la incrustación canónica de $A \times B \to A \otimes B$ es continua (localmente convexa por definición).

( La definición del $\epsilon$ La topología es bastante complicada, así que será mejor que la busques en el libro que he mencionado).