Número de homomorphisms unitario $\phi \ : \ \mathbb{Z}[X]/(X^3+3X+5) \longrightarrow \mathbb{R}$

Question

Necesito ayuda para resolver un ejercicio: ¿Cuál es el número de unitario homomorphisms $\phi \ : \ \mathbb{Z}[X]/(X^3+3X+5) \longrightarrow \mathbb{R}$?.

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El esfuerzo de la investigación

Los ceros de $X^3+3X + 5$ debe dividir $5$, no hay ninguno. Debido a su grado, sabemos que el polinomio es irreducible. El anillo de $\mathbb{Z}[X]$ es una factorización de anillo, $(X^3+3X+5)$ es el primer y el cociente del anillo de integridad de dominio. Esto es lo que tengo.

Podría usted por favor me dan un sutil pero fructífera sugerencia para contar el número de unitario homomorphisms? Gracias

Answer 1

Dado unitaria homomorphism $$ \mathbb{Z}[X]/(X^3 + 3X + 5) \R $$ (donde $R$ es cualquier anillo), una vez que sabes dónde $X$ va, usted sabe a dónde va todo (¿por qué?)

No puedes asignar $X$ a nada de lo que usted por favor, porque desde $X^3 + 3X + 5$ $0$ en el dominio, su imagen debe ser $0$ en el codominio. Por el contrario, que es la única obstrucción: si usted envía a $X$ a un elemento de $R$ la satisfacción de este polinomio, se ha definido un mapa. (por qué?)

Por lo tanto, la central unitaria de homomorphisms están en bijection con los lugares $X$ puede ir. En el caso específico que $R = \mathbb{R}$, ¿cuántos de esos hay, y cómo lo sabes? (Un poco de matemáticas de secundaria aquí.)